¿Las matemáticas van a ser aún más avanzadas? Si es así, ¿cómo?

Las matemáticas han estado avanzando continuamente desde que nació en la antigua Grecia. A veces avanza lentamente, como en la edad oscura. Y de vez en cuando ha habido saltos significativos.

Al igual que en física, donde la teoría cuántica y la relatividad general se consideraron grandes avances que representan un cambio de perspectiva, hemos tenido cosas similares en matemáticas. No soy un historiador de las matemáticas, pero te daré un ejemplo de puntos donde las matemáticas avanzaron considerablemente.

• La geometría y el método axiomático nacen en la antigua Grecia, alrededor del año 500 antes de Cristo. Antes de esto, la geometría era solo una lista de reglas generales para hacer cálculos sobre terrenos, construcción, etc.
• El cálculo nace en las obras de Newton y Leibniz a mediados del siglo XVII.
• El descubrimiento de geometrías no euclidianas en el siglo XIX por Gauss, Bolyai, Lobachevsky. Esto llevó a la invención de la geometría diferencial y riemanniana por Riemann, un estudiante de Gauss.
• La invención de la teoría de conjuntos por Cantor a fines del siglo XIX. Esto condujo a una revolución en la formalización de las matemáticas. Por ejemplo, cuando nació el cálculo, algunas personas dudaron de su validez porque los infinitesimales no tenían sentido (para ellos, en ese momento). Después de la introducción de los argumentos épsilon-delta por Cauchy y la definición de los números reales como cortes de Dedekind, el cálculo podría basarse en la teoría de conjuntos.
• Aparentemente, hubo una revolución en la geometría algebraica después de Grothendieck (mediados del siglo II). No conozco los detalles aquí porque no me especialicé en geometría algebraica. Pero recuerdo que me enseñaron dos versiones de este tema, la clásica y la versión más nueva después de Grothendieck.
• El uso generalizado de la teoría de categorías en algunas partes de las matemáticas (mediados del siglo II). Una vez más, no conozco detalles, pero esto está relacionado con el “nuevo” enfoque en geometría algebraica y mis amigos que estudian las categorías de amor de álgebra abstracta.

Otro ejemplo de mi campo fue la invención del método de Forcing por Paul Cohen en la década de 1960. Gracias a este método, fue posible resolver viejos problemas en la teoría de conjuntos (ejemplo clásico: el problema de Souslin de la década de 1920) que no se podían resolver antes. Y no quiero decir que las personas no fueran lo suficientemente inteligentes como para resolver esos problemas, simplemente era imposible resolverlos con las herramientas disponibles en ese momento.

Estoy tratando de pensar en ejemplos más recientes, pero no puedo pensar en algo grande. Sin embargo, todos los que somos matemáticos de investigación ayudamos a avanzar en las matemáticas, poco a poco.

Una última cosa es que las matemáticas necesitan tecnología para avanzar. Por lo general, la tecnología en la ciencia significa instrumentos para ayudar a realizar mediciones, pero en matemáticas, la tecnología también es abstracta. Por ejemplo:

• notación posicional en sistemas numéricos
• números arábigos
• la invención de 0
• tablas de logaritmos
• la regla de cálculo
• y finalmente, la computadora electrónica

Sí, aunque las computadoras no son necesarias para probar teoremas en partes abstractas de las matemáticas, muchos matemáticos aplicados usan las computadoras como herramientas.

Los ejemplos que das provienen directamente de los axiomas de la aritmética y, por lo tanto, no hay mucho que hacer en términos de avances. Pero ese es el punto de los axiomas.

Ahora, parece que piensas que las matemáticas tienen que ver con ecuaciones del contexto de esta pregunta. Continuaré con esta suposición, pero si tergiversa lo que realmente piensas, lo siento.

Las matemáticas son mucho, mucho más que ecuaciones. Hay muchos patrones y estructuras que no pueden ser capturados por las ecuaciones en matemáticas. Un ejemplo muy simple es que hay infinitos números primos. No hay realmente una ecuación involucrada, excepto quizás en la prueba del teorema. Sin embargo, todavía es una declaración bastante profunda. No estoy seguro si una computadora podría probar este teorema con solo la definición de números naturales y números primos. Tal vez algunas computadoras podrían.

Pero, con mucho, la mayoría de las matemáticas realmente requieren los elementos humanos de ingenio y creatividad (y otras cualidades, estoy seguro) para comprender lo que está sucediendo y progresar. Hasta ahora, no conozco ninguna computadora que posea las propiedades correctas para dar sentido a alguna teoría y luego hacer avances en ella sin ayuda humana.

Por supuesto, con ayuda humana, hay ejemplos en los que las computadoras desempeñaron un papel muy importante. El ejemplo por excelencia es la prueba del teorema de 4 colores. Pero a partir de ahora, las computadoras aún no son tan buenas como los matemáticos para producir resultados matemáticos y sospecho que este será siempre el caso, sin inteligencia artificial.

Sus ejemplos son cosas que estudiamos en los grados K-8. Las matemáticas actuales tienen poco que ver con las matemáticas que encuentras cuando eras niño. Está basado en pruebas y es bastante abstracto a nivel de investigación. Estos son algunos ejemplos de cómo son las matemáticas de investigación: https://arxiv.org/abs/1711.00269 , https://arxiv.org/abs/1708.04944 , https://arxiv.org/abs/1710.04484

La matemática se trata de patrones y estructura. La geometría aritmética y euclidiana y otros temas que uno estudia temprano en la vida se resolvieron hace miles de años, y se extienden a las propiedades de la aritmética modular (donde 2 + 2 pueden ser 0, 1, 2 o 3), geometría riemanniana (donde los espacios son curvas y los ángulos de un triángulo no suman 180 grados), o curvas elípticas de conjuntos de ecuaciones (vea el trabajo de Wiles sobre el último teorema de Fermat).

Sí, porque constantemente estamos investigando muchos problemas sin solución. Algunos problemas (np difíciles) son demasiado complejos para que una computadora funcione lo suficientemente rápido como para resolver problemas en un tiempo previsible, por lo que debe usar métodos evolutivos que brinden respuestas cercanas pero raramente absolutas.