Tenemos a + b = c + d y a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 + d ^ 2. ¿Cuántas soluciones puedo hacer con estas condiciones?

Geométricamente, (a, b) y (c, d) son puntos en la línea x + y = S y en el círculo x² + y² = R², donde S = a + by R² = a² + b². Ambas gráficas son simétricas con respecto a la diagonal principal y = x, y por lo tanto también lo será el conjunto de puntos de intersección del heredero. Como solo hay como máximo dos de esos puntos, deben ser simétricos con respecto a la línea y = x, es decir, d = ayc = b. Por lo tanto, no hay soluciones no triviales para ese sistema de ecuaciones.

La respuesta que publiqué ayer) y la eliminé hace un momento (aunque formalmente correcta, solo produjo esas infinitas soluciones triviales.

Algebraicamente, (ab) ² = 2 (a² + b²) – (a + b) ² idénticamente; entonces, si a + b = c + d y a² + b² = c² + d², entonces (ab) ² = (cd) ², de donde CUALQUIER ab = cd, que junto con a + b = c + d implica c = a y d = b, OR ab = dc, que junto con a + b = c + d implica c = b y d = a. Estas soluciones triviales son las únicas.

[matemáticas] (*) \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {lcl} (ac) (a + c) & = & (db) (d + b) \\ ac & = & d-b \ end {array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {l} \ left [\ begin {array} {l} a = c \\ d = b \ end {array} \ right. \\ \ left [\ begin {array} {lcl} a + c & = & d + b \\ ac & = & d-b \ end {array} \ right. \ end {array} \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {l} \ left [\ begin {array} {l} a = c \\ d = b \ end {array} \ right. \\ \ left [\ begin {array} {l} a = d \\ b = c \ end {array} \ right. \ end {array} \ right. [/ math]

Desde el punto de vista geométrico, son 2 planos cruzados de 2 dimensiones en un espacio de 4 dimensiones.

[matemáticas] \ infty [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) = (c + d) \ Rightarrow (a + b) ^ 2 = (c + d) ^ 2 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow 2ab = 2cd [/ math] (Usando la segunda condición)

[math] \ Rightarrow ab = cd [/ math] que tiene infinitas soluciones