Considere contar cadenas binarias de [math] n [/ math] “1” sy [math] m [/ math] “0” s, entonces hay [math] \ binom {n + m} {n} [/ math] tales cuerdas Por otro lado, hay [matemáticas] \ binom {n + m-1} {n-1} [/ matemáticas] que comienzan con 1, [matemáticas] \ binom {n + m-2} {n-1} [ / matemáticas] que comienzan 01, [matemáticas] \ binom {n + m-3} {n-1} [/ matemáticas] que comienzan 001 y así sucesivamente hasta [matemáticas] \ binom {n-1} {n-1} [/ math], que es el caso de [math] m [/ math] “0” s seguido de [math] n [/ math] “1” s, ya que todos estos son casos disjuntos y exhaustivos que tenemos
[matemáticas] \ dbinom {n + m} {n} = \ dbinom {n + m-1} {n-1} + \ dbinom {n + m-2} {n-1} + \ dbinom {n + m -3} {n-1} + \ ldots + \ dbinom {n-1} {n-1} [/ math]
Si llamamos [matemáticas] n + m = T [/ matemáticas] entonces
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[matemáticas] \ dbinom {T} {n} = \ dbinom {T-1} {n-1} + \ dbinom {T-2} {n-1} + \ dbinom {T-3} {n-1} + \ ldots + \ dbinom {n-1} {n-1} \ qquad \ blacksquare [/ math]
Esta es una buena prueba combinatoria de la historia.
Vea aquí para más usos incluidos.
