Primera nota trace (ABC) = trace (BCA), que es el rastro invariante a las permutaciones cíclicas.
En el siguiente, dejamos ‘denotar la matriz de transposición.
Desde la propiedad de rastreo de la invariancia hasta el cambio cíclico, el primer término es rastreo (M), que es constante. ¡Entonces M no afecta la respuesta!
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Si WW ‘= I, entonces W es ortogonal, por lo que la SVD obedece a W = UV’, por lo que los valores singulares son todos unitarios. La descomposición del valor singular de N es N = UQV ‘, con Q diagonal, UU’ = VV ‘= I.
¿Se sabe que el rastro de A, B obedece al siguiente límite, con valores singulares a_i, b_i ordenados en orden de clasificación (ver Desigualdades de rastreo):
[matemática] Rastreo (AB) \ leq \ sum_i a_i b_i, \ rightarrow Trace (NW) \ leq \ sum_i Q_ {i, i} [/ math]
De ello se deduce que la traza es invariante, siempre es simplemente la traza de Q!
