¿Es posible ver a cada miembro de un conjunto infinito en el mismo instante de tiempo?

Por supuesto. Si el conjunto infinito es el conjunto de números reales entre 0 y 1, simplemente dibuje el segmento finito [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas].

Si el conjunto infinito es un conjunto de números enteros, los transforma con un mapa que envía [math] \ R [/ math] a [math] [0, 1] [/ math], por ejemplo [math] n \ to \ frac 1 n [/ matemáticas]. Este es el truco de la perspectiva que, no hace mucho tiempo, era parte de las matemáticas.

Si el conjunto infinito es bidimensional, como el conjunto de enteros gaussianos, entonces use la proyección estereográfica.

Si el conjunto está en una dimensión superior (posiblemente infinita), puede proyectar el espacio en un subespacio unidimensional y, si es necesario, utilizar un mapa como [math] x \ to th (x) [/ math] para mapearlo en un segmento finito. Si el espacio no es demasiado patológico (como si, por ejemplo, se encuentra en un espacio de Banach), y el conjunto es discreto, puede administrar la proyección para que puntos distintos se proyecten en puntos distintos.

A2A

Prepárese para ver el conjunto infinito de números pares de un vistazo, en el mismo instante de tiempo

[matemáticas] \ {2n \ mid n \ in \ mathbb N \} [/ matemáticas]

¿Quieres ver aún más objetos al mismo tiempo? ¿Todos los reales?

[math] \ {x \ mid x \ in \ mathbb R \} [/ math]

Ahora, si está pidiendo ver un conjunto infinito físico de objetos en un instante dado, eso es doblemente imposible:

• Hasta donde sabemos, no existe un conjunto físico infinito, esta es una construcción matemática.
• La mente no procesa la información instantáneamente. Entonces, realmente necesita más de un instante (definido como [matemáticas] \ lim_ {t \ rightarrow 0 \ mid t \ ne 0} t [/ matemáticas]) para ver cualquier cosa.

Edit, en respuesta al comentario de John Walker, “la pregunta es acerca de ver a todos los miembros individuales de un conjunto infinito, físico o matemático, de un vistazo, no una representación de dicho conjunto en forma de fórmula. ¿Es esto posible y qué nos dice eso sobre el espacio? ”.

Primero, mi último punto se destaca. Y esto nos dice más sobre las limitaciones de la percepción humana que sobre cualquier otra cosa.

En segundo lugar, mi primer punto anterior también es válido: según nuestro conocimiento, la cantidad de materia en el universo es finita, por lo que no existe un conjunto infinito de objetos físicos.

Tercero, el problema es que infinito no es un concepto definido con mucha precisión. Daré un ejemplo de un “conjunto infinito” que se puede ver tan rápido como la mente puede procesarlo. Esperemos que, mientras lee esto, esté soleado y un rayo de luz atraviese las hojas de la hierba frente a usted. O un rayo de la lámpara cerca de tu escritorio. Mira ese rayo, o ese rayo. Y divídalo, desde su punto de partida hasta su punto final, según las instrucciones de Zenon de Elea: la luz cercana recorre instantáneamente la mitad de la distancia en la mitad del tiempo que necesita para recorrer toda la distancia. Luego, la mitad de la distancia restante en la mitad del tiempo anterior. Luego, la mitad de esa distancia en la mitad del tiempo anterior. Y así hasta el infinito. En realidad, estás viendo instantáneamente un conjunto infinito de pares (distancia, tiempo), que puedes separar mentalmente, aunque los límites a la precisión de tu visión en realidad te impiden ver físicamente los conjuntos más pequeños. Pero podría argumentar que el rayo que está viendo es finito, ya que tiene un principio (las hojas) y un final, el suelo.

¿Quieres profundizar aún más en el infinito? Tome una tira de papel, gírela y pegue los extremos. Sí, un anillo de Möbius. Es infinito, sin embargo, está viendo todos sus elementos al mismo tiempo y, sin embargo, también es algo finito, ya que es un objeto bidimensional.

¿Pero un conjunto que sería “verdaderamente” infinito? ¿Sin principio, sin fin, sin límites? No, porque la visión tiene límites.

No puedes. Por lo tanto, para ver infinitos dígitos, necesitaría una hoja de papel interminable, lo que no es posible ya que el universo es finito y solo habita alrededor de 10 ^ 80 átomos.

Además: no intentes traducir cada objeto matemático, como un conjunto infinito, a un objeto físico. Las matemáticas no están sujetas a las restricciones que experimentamos en el mundo físico. Las matemáticas son “un paraíso” como dijo Hilbert con respecto a la introducción de la aritmética transfinita a las matemáticas por Georg Cantor.

¿Qué quieres decir?

Matemáticamente diría que sí, si se quiere.

Físicamente, sí también. Podrías tener un número infinito de fotones, todos con la misma energía y giro, al menos en teoría. Lo mismo vale para cualquier bosón, de verdad.

¿Qué se supone que significa esto?

¿Cuenta [math] \ mathbb {N} [/ math]?

¿Cómo se supone que veas una entidad matemática abstracta?

La línea entre dos puntos contiene infinitos números reales. Entonces, en cierto sentido, cuando ves la línea, ves un conjunto infinito de un vistazo.