¿Cuántos pares de enteros (no necesariamente positivos) hay de manera que tanto a ^ 2 + 6b ^ 2 como b ^ 2 + 6a ^ 2 son ambos cuadrados?

Solo [math] (a, b) = (0,0) [/ math] funciona. Puede golpear este mod 4 y ver que cualquier otra cosa le da una contradicción (en particular, [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​ambos pares, por lo que no hay una solución distinta de cero con suma mínima [matemática] a + b [/ matemática], porque puedes seguir dividiendo por 2 para siempre), pero aún no he visto una prueba esclarecedora o incluso divertida que involucre un mod 4 bash, así que no haré una. En cambio, veremos esto en los enteros gaussianos (números complejos con partes enteras reales e imaginarias).

Tenga en cuenta que [math] x ^ 2 + y ^ 2 = (x + iy) (x-iy) [/ math]. Como tanto [math] a ^ 2 + 6b ^ 2 [/ math] como [math] b ^ 2 + 6a ^ 2 [/ math] son ​​cuadrados, su suma debe ser el producto de dos conjugados complejos; por lo tanto [matemáticas] 7a ^ 2 + 7b ^ 2 = (c + di) (c-di) [/ matemáticas]. Tenga en cuenta también que [matemáticas] 7a ^ 2 + 7b ^ 2 = 7 (a + bi) (a-bi) [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] 7 (a + bi) (a-bi) = (c + di) (c-di) [/ matemáticas]. Como 7 divide el lado izquierdo, también debe dividir el lado derecho. Si [matemática] 7 (e + fi) = c + di [/ matemática], entonces [matemática] 7 (e – fi) = c – di [/ matemática], entonces 7 debe dividir ninguno de los dos factores en el lado derecho ; por lo tanto divide a ambos. Reescribe esto como [matemáticas] 7 (a + bi) (a-bi) = 49 (e + fi) (e-fi) [/ matemáticas], o [matemáticas] 7 (e + fi) (e-fi) = (a + bi) (a-bi) [/ math]. Por el mismo argumento que antes, hay un factor de 49 escondido en el lado derecho, y luego podemos cambiar el nombre de las variables nuevamente, reorganizar y encontrar otro factor de 49 en [matemáticas] (e + fi) (e – fi) [ / matemáticas] … así que hemos terminado por descenso infinito. Eso solo significa que podemos seguir así para siempre, pero dado que ningún número entero gaussiano es infinitamente divisible por nada a menos que sea igual a 0, no hay otras soluciones.

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