La definición que supongo que quiere decir es que una función [matemática] f (x) [/ matemática] es analítica si para cada punto [matemática] x_0 [/ matemática], existe una serie de potencia [matemática] \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k (x – x_0) ^ k [/ math] que converge a [math] f (x) [/ math] en alguna región abierta alrededor de [math] x_0 [/ math].
La moraleja de esta definición es que toda la información sobre la función está contenida en cada punto. Más explícitamente, si conoce el valor de [math] f ^ {(i)} (x_0) [/ math] para [math] i \ geq 0 [/ math] (es decir, el valor de la función y todas sus derivadas) en el punto [math] x_0 [/ math], puede reconstruir la función completa (juego de palabras) a través de un proceso llamado continuación analítica. Para encontrar [math] f (x) [/ math] para cualquier otro valor de [math] x [/ math], puede “saltar” a ese valor:
1) Primero cree la serie de potencia alrededor de [math] x_0 [/ math]
2) Elija un punto [matemático] x_1 [/ matemático] más cercano a [matemático] x [/ matemático] donde la serie de potencias
3) Use la serie de potencias para encontrar los valores [matemática] f ^ {(i)} (x_1) [/ matemática] para [matemática] i \ geq 0 [/ matemática]
4) Repita hasta que pueda llegar a [matemáticas] x [/ matemáticas].
Probablemente hay un punto filosófico más profundo que podría hacerse. Toda la función está determinada por una secuencia contable de números reales. Esto es mucho más pequeño que la información necesaria para describir una función no analítica arbitraria. Quizás alguien con un poco más de conocimiento de la teoría de conjuntos podría ampliar esto.
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Para la nueva pregunta: ¿supongo que quiere decir una diferencia entre los que pueden y los que no pueden? En principio, no. Las funciones exponenciales, trigonométricas e hipertrigonométricas se definen como las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales. La única forma de escribirlos “computablemente” (es decir, con suma y multiplicación) es por su serie de potencias:
[matemáticas] \ exp x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sinh x = x + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} + \ frac {x ^ 7} {7!} + \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cosh x = 1+ \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + \ frac {x ^ 6} {6!} + \ cdots [/ math ]
[matemáticas] \ sin x = x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} + \ cdots [/ math ]
[matemáticas] \ cos x = 1- \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} + \ cdots [/ math ]
Las soluciones a ecuaciones diferenciales menos comunes se expresan igualmente bien por series de potencia y no son menos fundamentales. Simplemente son menos familiares. En física, muchos de ellos tienen casi la misma importancia, por ejemplo, las funciones Bessel / Hankel y Bessel / Hankel esféricas, etc.
