Cómo resolver este problema de optimización usando el multiplicador de Lagrange: Dado x + y + z = 1, x-y + 2z = 2 y encontrar min, max de f (x, y, z) = {x} ^ {2} + 2 {y} ^ {2} + {z} ^ {2}

Usaría la típica ecuación de multiplicadores de Lagrange:

[matemáticas] f (x, y, z) = x ^ 2 + 2y ^ 2 + z ^ 2 \ implica \ nabla f (x, y, z) = \ begin {bmatrix} 2x \\ 4y \\ 2z \ end {bmatrix} [/ math]

Haga lo mismo para las restricciones: [matemáticas] g (x, y, z) = x + y + z \ implica \ nabla g (x, y, z) = \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] h (x, y, z) = x-y + 2z \ implica \ nabla h (x, y, z) = \ begin {bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \ end {bmatrix} [/ matemáticas]

Ahora pon estos en la ecuación:

[matemáticas] \ nabla f = \ mu \ cdot \ nabla g + \ lambda \ cdot \ nabla h \\ \ begin {bmatrix} 2x \\ 4y \\ 2z \ end {bmatrix} = \ mu \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix} + \ lambda \ begin {bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] 2x = \ mu + \ lambda \\ 4y = \ mu- \ lambda \\ 2z = \ mu + 2 \ lambda \\ x + y + z = 1 \\ x-y + 2z = 2 [/ matemáticas ]

Intentemos resolver para x primero: [matemáticas] 4y = \ mu- \ lambda = 2x-2 \ lambda \ implica y = \ frac {x- \ lambda} {2} \\ 2z = \ mu + 2 \ lambda = 2x + \ lambda \ implica z = \ frac {2x + \ lambda} {2} \\ x + y + z = 1 = x + \ frac {x- \ lambda} {2} + \ frac {2x + \ lambda} {2} = 1 \\ \ frac {5} {2} x = 1 \ implica x = \ frac {2} {5} [/ math]

Sumando las 2 restricciones, obtenemos [matemáticas] 2x + 3z = 3 = \ frac {4} {5} + 3z = 3 \ implica z = \ frac {11} {15} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + y + z = 1 = \ frac {2} {5} + \ frac {11} {15} + y = 1 \ implica y = – \ frac {2} {15} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la función original es una parábola en las secciones transversales x, y y z con coeficiente principal positivo, lo que significa que no hay un máximo. Por lo tanto, el mínimo global de la función está en [matemáticas] (\ frac {2} {5}, – \ frac {2} {15}, \ frac {11} {15}), f (x, y, z ) = \ frac {11} {15} [/ matemáticas]

Me gustaría terminar con esto diciendo que los multiplicadores de Lagrange no son necesarios para resolver este problema y complican mucho todo. Sería mucho más fácil resolver simplemente para cada uno de los términos: dado que tenemos 3 ecuaciones, podemos usar 2 de ellas para sustituir 2 de las 3 variables para que podamos escribir una tercera ecuación usando 1 variable, resolviendo efectivamente, y conectándolo a la función de variable única para encontrar el mínimo.

Aquí está mi trabajo sin multiplicadores de Lagrange:

Sumando las restricciones, obtenemos [matemáticas] 2x + 3z = 3 \ implica z = \ frac {3-2x} {3} = 1- \ frac {2} {3} x [/ matemáticas]

Ahora, tenemos [matemáticas] x + y + z = 1 \ implica y = 1-xz = 1-x-1 + \ frac {2} {3} x = – \ frac {1} {3} x [/ matemáticas]

Ahora, sustituyendo y y z en la función, obtenemos [matemática] f (x, y, z) = [/ matemática] [matemática] x ^ 2 + 2 (- \ frac {1} {3} x) ^ 2 + (1- \ frac {2} {3} x) ^ 2 = x ^ 2 + \ frac {2} {9} x ^ 2 + 1- \ frac {4} {3} x + \ frac {4} { 9} x ^ 2 = \ frac {5} {3} x ^ 2- \ frac {4} {3} x + 1 [/ matemáticas]

Ahora tenemos una función de variable única. Tomando la derivada, obtenemos [matemáticas] f ‘(x) = \ frac {10} {3} x- \ frac {4} {3} = 0 \\ \ frac {10} {3} x = \ frac { 4} {3} \\ x = \ frac {2} {5} [/ matemáticas]

O bien, podríamos haber usado la fórmula del vértice para parábolas: [matemáticas] – \ frac {b} {2a} [/ matemáticas]

Ahora que conocemos la coordenada x del punto mínimo, resolvemos para [math] f (x) [/ math]:

[matemáticas] f (\ frac {2} {5}) = \ frac {5} {3} (\ frac {2} {5}) ^ 2- \ frac {4} {3} (\ frac {2} {5}) + 1 = \ frac {4} {15} – \ frac {8} {15} + 1 = \ frac {11} {15} [/ matemáticas]

Tengo que protestar por el requisito de usar multiplicadores de Lagrange. Es mucho más simple expresar x e y en términos de z a partir de las restricciones, y luego expresar la función objetivo en términos de z solo y simplemente maximizar y minimizar esa expresión polinómica en z.

El problema es más fácil para alguien que no sabe nada sobre los multiplicadores de Lagrange que para un fanático del método.