Es cierto (e interesante) que en [matemáticas] \ R [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (1 + \ frac {1} {n}) ^ {n} = e [/ matemáticas]
pero no veo que esa sea más la “definición estándar” que ninguna otra.
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No estoy seguro de cuál es su criterio para la rapidez de la convergencia. Es bastante difícil comparar límites radicalmente diferentes.
Por ejemplo, es bastante fácil colapsar la fracción continua
[matemáticas] e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,…] [/ matemáticas]
en una recurrencia que te da cada tercer convergente. ¿Es esto realmente más lento que la serie Maclaurin para [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]?
¿Hay alguna razón particular para esperar que la convergencia sea “igualmente rápida” (lo que sea que eso signifique exactamente) para diferentes secuencias con el mismo límite? No solo no puedo ver por qué, puedo pensar en una razón obvia por la que no. Dada cualquier secuencia de este tipo, puede expresarla como una serie, y luego puede reemplazar cada término [math] a_i [/ math] con una serie de términos contiguos, cada uno igual al término original dividido por [math] i! [/ matemáticas]. Ahí, ahora tienes una serie de convergencia más lenta.
Seguir una secuencia, es aún más fácil; simplemente reemplace cada término [math] a_i [/ math] con [math] i! [/ math] repeticiones de sí mismo.
Algunos procesos de límite con el mismo enfoque de límite que limitan más rápido que otros. ¿Entonces?
