La teoría de Galois no es realmente una teoría única, es un marco teórico desarrollado y ahora utilizado para probar una variedad de resultados.
La teoría de Galois es increíblemente agradable debido a su simplicidad, cada paso en la construcción de la teoría es bastante obvio, pero una vez que llegamos al final podemos resolver algunos problemas difíciles. Dadas todas las herramientas de la teoría de Galois para resolver los problemas de solvencia por radicales (el problema que Galois estaba tratando de resolver) es increíblemente fácil.
La ingeniosa idea de Galois era considerar las formas en que podemos permutar las raíces de los polinomios y demostrar que si podemos resolver un polinomio por radicales, estas permutaciones deben satisfacer propiedades particulares. En matemáticas modernas, formulamos estas ideas en términos de grupos, campos y homorfismos.
- Cómo mejorar mis habilidades matemáticas, especialmente la velocidad y la precisión, simultáneamente para el CAT. ¿A qué libros debo referirme para aclarar mis conceptos básicos en aptitud cuantitativa?
- ¿Fermat realmente escribió su 'último teorema' en los márgenes de un cuaderno?
- ¿Por qué el registro de números negativos no está definido y por qué [math] \ log _ {- 2} -2 [/ math] no es 1, ya que el logaritmo es solo un proceso para encontrar el poder de algo?
- ¿Cuáles son los beneficios de hacer un MBA después de obtener una licenciatura en matemáticas?
- Un hombre agregó los dígitos del año cuando cumplió 37 años y notó que era igual a la suma de los dígitos del año en que nació. ¿En qué año nació él?
Sin embargo, tales ideas no existían de la misma manera cuando Galois estaba haciendo lo suyo, sin embargo, las ideas subyacentes son las mismas, solo están redactadas de una manera más general.
Sin embargo, los pasos de la prueba son esencialmente los mismos:
- Demuestre un montón de resultados sobre automorfismos de extensiones de campo (es decir, demuestre resultados sobre permutaciones de raíces).
- Demuestre que si un polinomio se puede resolver mediante radicales, tiene un grupo de galois solucionable (esto es mucho más fácil de lo que parece y se deduce bastante fácilmente de los resultados en 1)
- Encuentre una clase de polinomios con el grupo de Galois que sea [math] S_ {n} [/ math] y, por lo tanto, no pueda resolverse para [math] n> 4 [/ math]. Un ejemplo fácil para [matemática] n = 5 [/ matemática] es [matemática] x ^ {5} -6x + 3 [/ matemática] pero de hecho para [matemática] n [/ matemática] prima cualquier polinomio irreducible con exactamente 2 Bastarán raíces no reales.
En esencia, todo es bastante simple, pero solo porque un Galois tenía una visión tan increíble. Esa idea sigue siendo lo que sustenta la teoría moderna, que no ha ido mucho más allá de lo que hubiera soñado.
Puede parecer algo extraño que puedas construir una teoría con un montón de pasos bastante fáciles y luego usar esa teoría para demostrar algo muy difícil, pero en realidad esto es bastante común, especialmente en álgebra. De hecho, hay quienes (como Grothendieck, creo) que piensan que todas las matemáticas deberían ser así, que deberían construir una teoría de tal manera que la solución a un problema simplemente desaparezca.
De manera similar, muchos resultados teóricos de números clásicos se deducen fácilmente de la teoría de los enteros algebraicos, incluido el último teorema de Fermat para un montón de casos (los llamados números primos regulares).
