¿Cómo se prueba que det (A * B) = det (A) * det (B)?

Primero, demostremos que el hecho es válido para las matrices de triángulos superiores, es decir, matrices donde [math] a_ {ij} = 0, i> j [/ math].

1. Si multiplica 2 de esas matrices, descubrirá que los elementos en la diagonal principal del producto son productos de los elementos en la diagonal principal de las matrices de origen.
2. El determinante de dicha matriz es un producto de los elementos en la diagonal principal (solo use la fórmula de Laplace y siempre seleccione la primera fila).

Entonces, a partir de estos 2 hechos, nuestro teorema es válido para tales matrices.

Ahora introduzcamos 2 transformaciones que pueden expresarse mediante una multiplicación matricial y no cambien el determinante:

1. Cambie 2 filas (o 2 columnas) y cambie el signo de los elementos de una de ellas.
2. Agregue una fila (columna) multiplicada por algún número a otra fila (columna).

Ambas transformaciones se pueden expresar mediante multiplicación matricial.

Ahora haz lo siguiente. Usando las transformaciones de fila, haga que la matriz A sea un triángulo superior, por las transformaciones de columna haga B triángulo superior. Comprueba que al aplicarlos a AB también obtendrás una matriz de triángulo superior. Pero para las nuevas matrices nuestra fórmula es verdadera. Como no cambiamos el determinante usando nuestras transformaciones, la fórmula es verdadera para las matrices originales.

[math] f: B \ rightarrow det (A * B) [/ math] es una forma n-lineal alterna. Cada forma n-lineal alterna son proporcionales. Entonces f es proporcional a [matemática] det: B \ rightarrow det (B) [/ matemática].
Entonces hay [math] \ lambda [/ math] como [math] f = \ lambda * det [/ math].
[matemáticas] f (I) = det (A) [/ matemáticas] y [matemáticas] det (I) = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] \ lambda = det (A) [/ matemática] y [matemática] det (A * B) = det (A) det (B) [/ matemática]