Sus números hexagonales típicos que cuentan el número de puntos necesarios para hacer el contorno de un hexágono se describen simplemente mediante la expresión [matemáticas] 6n [/ matemáticas]. Si procedes a contar el número de puntos necesarios para llenar todo el hexágono y su contorno (todo en una red arbitraria, por supuesto), obtienes los números hexagonales centrados .
Crédito al Salón de los Hexágonos .
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Cada número hexagonal centrado es la suma de dos números pentagonales generalizados consecutivos. Hay una subsecuencia de los números hexagonales centrados (cada tercer número hexagonal centrado) en el que cada miembro puede escribirse completamente en términos de la suma del mismo múltiplo de un número pentagonal y la misma constante. Probablemente hay algunas preguntas teóricas numéricas puramente relacionadas con los números hexagonales (al igual que hay para los números triangulares). Pero el hecho de que cada número hexagonal centrado se pueda expresar como la suma de dos números pentagonales generalizados consecutivos es interesante debido a las conexiones a la serie q que se me ocurren.
[matemáticas] (q; q) _ \ infty = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ nq ^ {n (3n-1) / 2} [/ matemática]
Donde [math] n (3n \ pm 1) / 2 [/ math] son los números pentagonales generalizados. Por cierto, el [math] (q; q) _ \ infty [/ math] es un caso especial del símbolo más general q-Pochhammer [math] (a; q) _n [/ math].
Esto también se puede escribir como:
[matemáticas] (q; q) _ \ infty = (1-q) – (q ^ 2-q ^ 5) + (q ^ 7-q ^ {12}) – (q ^ {15} -q ^ { 22}) + (q ^ {26} -q ^ {35}) -… [/ matemáticas]
Donde los signos continúan alternativos como tales. Dentro de cada paréntesis, hay una diferencia de dos términos, cada uno de los cuales se eleva a un cierto poder. Si suma esos exponentes, obtendrá los números hexagonales centrados:
[matemáticas] 0 + 1 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 + 5 = 7 [/ matemáticas]
[matemáticas] 7 + 12 = 19 [/ matemáticas]
[matemáticas] 15 + 22 = 37 [/ matemáticas]
Y así sucesivamente … Puede probar que un número hexagonal centrado es la suma de dos números pentagonales generalizados consecutivos simplemente usando sus fórmulas. Puede probar la identidad de la serie q desde arriba de varias maneras diferentes que imagino. Si multiplica los términos individualmente, eventualmente comenzará a notar un patrón similar al anterior (y me refiero a todo lo anterior arribaeeee). Puede probarlo a fondo utilizando la función theta general de Ramanujan, la identidad triple del producto Jacobi y algunas manipulaciones.
¿Por qué parar allí? La identidad de la serie q desde arriba (a veces llamada el teorema del número pentagonal) también tiene conexiones profundas a las particiones si toma el recíproco del lado izquierdo.
¡Disfrutar!
