¿Hay algo matemático que pueda debatirse?

Creo que el debate principal es silencioso y se trata principalmente de estética. Es decir, ya sabemos que la comunidad matemática tiene un excelente historial de solución de disputas matemáticas —si hay algún desacuerdo sobre si una prueba es correcta o no, eventualmente se llega a un acuerdo—. Las personas a veces discuten sobre las definiciones, pero en última instancia, estos argumentos también terminan resueltos ya sea por la comprensión de que las definiciones múltiples de un objeto son realmente equivalentes, o por la aceptación de que había dos tipos diferentes de objetos en estudio, en lugar de uno, y es solo una cuestión de hacer cuidadosamente esa distinción. Así que no considero que estos sean temas de debate dentro de las matemáticas.

El debate principal ocurre cuando los matemáticos discuten sobre lo que es interesante y lo que no está dentro de las matemáticas. Esto generalmente no es un debate abierto, sino más bien una discusión implícita que ocurre sin palabras. Sucede cada vez que un matemático decide en qué quiere trabajar a continuación (un caso particular algo dramático es cuando un estudiante decide en qué quiere especializarse). Ocurre cuando un comité de contratación decide qué área de especialización elegir de la próxima contratación. Ocurre cuando un matemático revisa un documento y tiene que tomar decisiones no sobre el rigor del documento, sino más bien sobre su interés, relevancia e impacto (la mayoría de las revistas “sofisticadas” requieren algún tipo de juicio como este por parte del árbitro ) Sucede cada vez que un matemático decide si asistirá al próximo coloquio o seminario. Y seguramente debe suceder cuando los comités deciden a quién otorgar el próximo premio súper lujoso, y sobre la base de qué trabajo. Este debate impacta la vida de los matemáticos y determina en gran medida en qué decidirán trabajar. Casi nunca hablamos abiertamente sobre este debate, que está constantemente en curso. Sin embargo, esta es la única parte de las matemáticas donde la subjetividad juega un papel crucial, y donde no siempre se llega a un consenso.

Tengo 2 debates favoritos que me gusta plantear a mis alumnos:

¿.9 repitiendo = 1?

Hay varios argumentos a favor y en contra de la igualdad en YouTube. Mis alumnos generalmente responden con vehemencia: ¡NO! Luego les ofrezco algunos argumentos: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1, y .3 repetición + .3 repetición + .3 repetición = .9 repetición = 1? Sin embargo, el argumento convincente para mí es: entre dos números reales distintos hay un número infinito de números reales. Reto a mis alumnos (y a ti) a que obtengan 1 número entre .9 repetitivo y 1. ¡La falta de un número real entre ellos indica que no son distintos y, por lo tanto, iguales!

¿0 ^ 0 = 0 o 1?

Después de enseñar leyes de exponentes, les pido a mis alumnos que decidan la respuesta. Divido los grupos en los que eligieron 0 y los que eligieron 1. Luego, hago que cada grupo formule un argumento sobre por qué creen que es 0 o 1 y luego presente su argumento. La mayoría de los estudiantes eligen 0 porque si multiplicas repetidamente cero siempre obtendrás cero. Sin embargo, yo diría que 1 es una mejor opción. 0 ^ x = 0 solo es verdadero para x> 0 porque los exponentes negativos hacen que se divida por cero, mientras que x ^ 0 = 1 es verdadero para todos los x distintos de cero. Ambos tienen una discontinuidad en 0, pero para x ^ 0 = 1 es solo un agujero de alfiler, mientras que para x ^ 0 = 0 es un rayo con un punto final abierto.

(Gracias Desmos por la hermosa calculadora gráfica en línea)

Disfruto mucho estas discusiones abiertas en clase, porque ayuda a los estudiantes a luchar con los conceptos de una manera similar a los matemáticos. Si tiene otras ideas para debatir en una clase de matemáticas de la escuela secundaria, me encantaría escucharlas. Le invitamos a estar en desacuerdo con mis preferencias anteriores y agradecería cualquier argumento adicional que pueda tener para cualquier postura.

Todo en matemáticas se deduce indescifrable de axiomas discutibles.

Lo que significa que solo los axiomas pueden ser debatidos.

Por ejemplo, ¿deberíamos aceptar el axioma de elección o no? Eso es discutible.

Las otras cosas que se debaten generalmente surgen de la lógica subyacente que se usa, que, lo creas o no, puede no ser lo mismo para todos. Una de esas lógicas ‘discutibles’ es la ley del medio excluido, que, en pocas palabras, establece: o una declaración es verdadera o es falsa. (Por lo tanto, no hay un terreno ‘intermedio’: si algo no es cierto, entonces debe ser falso, y viceversa.) Esta ley no es aceptable para los matemáticos construccionistas, quienes argumentan que cualquier objeto matemático debe ser construido, o, al menos, ir acompañado de un algoritmo finito que lo construya, para existir. Por lo tanto, para los construccionistas, argumentar que algo existe asumiendo su inexistencia y obteniendo una contradicción (la llamada prueba por contradicción) no es suficiente. Para un construccionista, si (no P) es falso, entonces P no es necesariamente cierto.

Seguro. Estas cosas a menudo están en el nivel axiomático, subyacentes a los fundamentos de las matemáticas. Un ejemplo divertido es si la hipótesis del continuo (CH) es verdadera. CH declara:

No hay un conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los enteros y la de los números reales.

Es decir, hay un infinito que representa el número de enteros (no importa si incluye enteros negativos en eso). Hay otro infinito que representa el número de números reales. Se puede demostrar que este segundo infinito es más grande que el primer infinito de una manera precisa y matemáticamente útil; Esto fue hecho, al principio y más famoso, por Cantor y su argumento diagonal.

Lo que dice CH es que no hay infinito “entre” esos dos, que el siguiente nivel desde los enteros son los reales. Resulta que CH es completamente independiente de ZFC (Zermelo-Frankel más Axiom of Choice), la base teórica establecida de las matemáticas. Esto se mostró en dos etapas separadas:

• En 1940, Kurt Gödel demostró que CH era consistente con ZFC.
• En 1963, Paul Cohen demostró que la negación de CH (“existe al menos un conjunto cuya cardinalidad se encuentra entre la de los enteros y la de los reales”) también era consistente con ZFC.

Estos dos resultados se combinan para mostrar que CH es independiente de ZFC: ZFC no nos dice de una forma u otra si CH es (probablemente) verdadero o no. A pesar de este hecho, hay una discusión considerable sobre si CH es (platónicamente) verdadero o no, con argumentos serios presentados para un lado u otro.

Estos argumentos tienen un sabor que es una curiosa mezcla de lo teórico y lo retórico. En el lado teórico, se puede demostrar rigurosamente que si CH es verdadero (o falso, alternativamente), entonces hay varias consecuencias; pero desde el punto de vista retórico, la verdad o falsedad de CH se argumenta sobre la base de cuán convincentes o probables son esas consecuencias (ninguna de las cuales es decidible en ZFC tampoco, obviamente).

Esencialmente, las personas miran lo que sucede si asumes CH (o su negación), y eligen el lado que les resulta más atractivo. Si te gusta un universo limpio y austero de conjuntos, tiendes a favorecer CH; Si te gusta un universo rico y variado de conjuntos, tiendes a favorecer su negación. Por cierto, tanto Gödel como Cohen tendieron a pensar en CH como falso.

Para aquellos que piensan en las matemáticas como el dominio de lo demostrablemente verdadero y demostrablemente falso, es un fenómeno interesante.

Algo así como.

Por supuesto, si todos están de acuerdo en cuáles son las definiciones y cuáles deberían ser las reglas lógicas de inferencia, entonces no hay debate. O, para ser más exactos, puede haber un breve debate mientras todos intentan determinar por sí mismos si un argumento es realmente válido o no, pero hay una respuesta objetiva a esa pregunta que de hecho se puede determinar en un tiempo finito.

Casi todos los matemáticos usan la lógica estándar de primer orden, y ese es su sistema preferido de inferencia lógica. Sin embargo, hay algunos que abogan por la lógica intuicionista. La lógica intuicionista es extraña: tiene la ventaja de que es completamente constructiva (lo que significa, por ejemplo, que es imposible demostrar que algo existe sin producir un método para construir un ejemplo), pero tiene la extraña propiedad de que “no no P ” No significa lo mismo que” P “! Hay un contingente aún más pequeño de matemáticos que van aún más lejos y adoptan el ultrafinitismo, donde no aceptarán nada menos que una construcción explícita como prueba (entonces, si quisieran probar que [matemáticas] 144 \ cdot 23 = 23 \ cdot 144 [/ math], necesitaría calcular explícitamente el cálculo, en lugar de recurrir a argumentos sobre la conmutatividad de la multiplicación).

El tema de debate mucho más común es cuáles son las definiciones correctas. Este es un debate que tiende a establecerse con el tiempo a medida que las personas prueban muchas definiciones diferentes y eventualmente encuentran una opción más o menos óptima. Sin embargo, para los campos de las matemáticas que son bastante nuevos, esta es una discusión común; después de todo, ¿cuáles son los objetos correctos para estudiar? ¿Qué definiciones son fructíferas? A menudo no está claro cuál es la respuesta hasta después del hecho.

Una de las cosas que atrae a las personas a las matemáticas es cuánto hay en él que es riguroso y, por lo tanto, no discutible.

Me parece que la mayoría de lo que ustedes llamarían “debates” entre matemáticos están motivados por desacuerdos sobre los méritos del trabajo de las personas, lo cual es más una cuestión de opinión que la mayoría de lo que los matemáticos escriben en sus artículos publicados. ¿Cuánto valor hay en un papel? ¿Es la nueva idea prometedora? ¿Es probable que algún enfoque dé frutos algún día? Puede que esto no sea lo que quiere decir con “matemático”, pero juega un papel en la práctica matemática. En algunos departamentos de matemática existe un desacuerdo sustancial de este tipo sobre qué campo contratar personas. Las personas a menudo sienten que su propio campo es especialmente bueno para contratar a más personas.

Parece que los desacuerdos sobre la filosofía de las matemáticas son esquivados por muchos matemáticos. Existe una especie de acomodación mutua entre filosofías en la que se dice que las matemáticas motivadas por cada filosofía son (al menos) matemáticas válidas. Sin embargo, esto reclasifica el problema de nuevo a una pregunta de qué tipo de matemáticas uno piensa que es más valioso, sin abordarlo realmente. Creo que tiende a ser difícil juzgar el trabajo motivado por una filosofía diferente a la propia, sin estar sesgado por su aparente motivación innecesariamente filosófica. (El propio trabajo parece, por supuesto, ser simplemente “hacer lo que viene naturalmente”). Los matemáticos son generalmente mejores matemáticos que filósofos.

La persona que cree, como algunas personas expertas en matemática constructiva, que la matemática constructiva vale la pena ser el principal tipo de matemática que hacemos, tiende a ser considerada como una especie de opinión extrema, aunque en su mayor parte lleguemos en nuestras opiniones sobre los méritos relativos de las matemáticas constructivas y no constructivas por rumores generales. Creo que esta situación en particular es desafortunada. Algunas personas en ciencias de la computación han expresado la esperanza de que algún día habrá suficientes matemáticas constructivas (motivadas por la aplicación a la informática) para que los méritos (ya sean limitados o vastos) se conozcan de manera más general, pero si esto está sucediendo, parece ser un Proceso bastante lento.

Axioma de elección viene a la mente. Al ser un axioma, no se puede probar, solo se postula. Pero, ¿qué tan “verdadero” es si vemos la relación entre las matemáticas y la física?

El axioma se usa más famoso en la prueba de la paradoja de Banach-Tarski: una esfera se puede dividir de tal manera que se pueden construir dos esferas idénticas a la esfera inicial a partir de sus partes. Sin embargo, la prueba no proporciona ningún método para construir dicha partición, solo que existe (una prueba más larga muestra que solo cinco partes son suficientes).

Ahora, ¿es una fantasía matemática inútil o una realidad física? No lo sabemos Todo depende de la validez del axioma de elección en el mundo físico.

Aquí hay un par de afirmaciones que están garantizadas para iniciar un ENORME argumento entre los matemáticos.

Digo que es una buena idea pensar en [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] como una fracción.

Digo que la intuición es más importante (y más útil) que el rigor.

Digo que debe entenderse que el símbolo de la raíz cuadrada de dos representa dos números, no uno.

Y por si acaso:

Afirmo que puedo sumar la serie Ramanujan 1–2 + 3–4 … en Excel y obtener la respuesta correcta.

• Convenciones: ¿Cuál es la mejor manera de hablar para condensar nuestro conocimiento? Esto es esencialmente un debate lingüístico (con todas las limitaciones que conlleva tal cosa); cosas como “discutir sobre una forma preferida de hacer una transformación de Fourier” entrarían en esta categoría.
• Definiciones óptimas para el estudio: ¿Qué tipos de objetos matemáticos son interesantes y qué definiciones son “ad-hoc” y no profundas? ¿Qué deberíamos priorizar estudiar y qué es simplemente un lado esotérico?
• Axiomas: ¿qué axiomas son “correctos” que deberíamos usar realmente? (El axioma de elección es quizás el debate más famoso en esta categoría).

La primera equivale a “preferencias que pueden debatirse razonablemente”. La segunda equivale a “una combinación de preferencia y evaluación de los hechos”. La tercera equivale a “evaluación de los hechos”. Todos estos son debatibles precisamente porque no son hecho en sí, a diferencia de las derivaciones dentro de un sistema que constituyen el resto de las matemáticas.

La interpretación del teorema de incompletitud de Godel. Hay un libro completo llamado Teorema de Godel: una guía incompleta para su uso y abuso . Pero la situación está lejos de resolverse. Algunas personas pensarán que, debido al Teorema de Godel, nunca nos conoceremos a nosotros mismos. Pero esta interpretación no es comúnmente aceptada.

Para el propio Godel, pensó que el teorema de Godel al menos hace que una de estas dos afirmaciones sea verdadera: 1. La verdad matemática es más de lo que los seres humanos pueden saber; 2. los seres humanos no son máquinas.

Penrose ha escrito un libro llamado The Emperor’s New Mind , que establece que el Teorema del Gódel significa que los seres humanos no son Turing Machine. Parece escribir una prueba más rigurosa en otro libro llamado Shadows of Mind . Pero la idea de Penrose también es controvertida.

Casi todo en matemáticas puede ser debatido. ¡Solo porque las preguntas tengan una respuesta objetiva no significa que no pueda haber debate! Simplemente significa que el debate puede concluirse de manera concluyente.

La diferencia es que, a diferencia de la mayoría de los campos, las matemáticas tienen reglas muy fuertes para resolver debates y declarar que un lado u otro ganó. Si tiene una prueba de su posición, no necesita confiar en un juez o en un voto para declararlo ganador, y por lo general, incluso su oponente aceptará fácilmente el punto.

De hecho, nos referimos habitualmente a las pruebas matemáticas como “argumentos”. Esto no es fundamentalmente diferente de argumentar a favor, por ejemplo, de una posición política. Es más fácil decidir objetivamente qué argumentos son correctos.

Si.
De hecho, la teoría de conjuntos avanzada es más o menos filosofía y debate sobre los axiomas fundacionales correctos de las matemáticas.

Por ejemplo, es demostrable que el axioma de elección es consistente con el sistema ZF. Al mismo tiempo, no sabemos si otro axioma: el axioma de determinación (AD) es consistente con ZF. Solo sabemos que es inconsistente con ZFC, pero como prueba la consistencia de ZF (y, por lo tanto, ZFC), no podemos probar en ZFC que ZF + AD sea consistente. Por lo tanto, trabajando solo en ZFC, nunca sabremos si ZF + AD es consistente, a menos que encontremos una inconsistencia.
Esto significa que en este punto, tanto ZFC como ZF + AD parecen ser sistemas axiomáticos razonables.
Si desea que todos los conjuntos sean medibles, utilizará ZF + AD, pero si desea que todos los espacios vectoriales tengan una base, utilizará ZFC.
¡En última instancia, esta es una elección filosófica!

Rompamos un poco la pregunta: ” ¿Está ahí ? – ¿Es ese marco de tiempo deslizante, siendo la veracidad el caso sin importar cuándo ocurra?

¿Qué se entiende por ” algo matemático”? ¿Cómo se definen las matemáticas? ¿Es simplemente una manipulación de símbolos?

¿Qué se entiende por ” eso puede ser debatido”? ¿Significa que la verdad de la proposición es desconocida o es incognoscible? ¿Se ” debate ” en este contexto dentro o fuera de las matemáticas?

¿Su pregunta es equivalente a: es la matemática conocimiento a priori ?

Aparte de eso, estoy de acuerdo con otros en el Axioma de elección como un gran ejemplo de lo que hace que las matemáticas sean una actividad fascinante.

Las matemáticas, como Bach, Beethoven, Haydn, Mozart, están tan cerca de la perfección como nos atrevemos en la vida.

Los fundamentos de la probabilidad no son claros y se debaten acaloradamente [1].

Del mismo modo, la solución al famoso problema de Monty Hall [2], a mi entender, no tiene pruebas claras, sino que se basa en un consenso de matemáticos.

Notas al pie

[1] Interpretaciones de probabilidad – Wikipedia

[2] Problema de Monty Hall – Wikipedia

Como estudiante graduado en matemáticas, lo principal que siempre consideré discutible es el Axioma de Elección. Lleva a muchas conclusiones muy interesantes. Sin embargo, ninguno de ellos me pareció que tuviera alguna aplicabilidad útil en el mundo real. Algunas de esas conclusiones son tan paradójicas que decidí no prestar mucha atención a las matemáticas que dependían del axioma. Sin embargo, todavía podría divertirme con las consecuencias paradójicas.

Hay muchas, como:

• ¿Qué es [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas]?
• ¿Qué es [math] 0 \ cdot \ infty [/ math]?
• ¿Qué es [math] \ infty ^ 0 [/ math]?

Básicamente, una gran cantidad de conceptos relacionados con [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ infty [/ matemáticas] son ​​discutibles.

Parece que las implicaciones del Teorema de incompletitud de Gödel son discutibles … a menos que seas Roger Penrose. El problema real, y por lo tanto el debate real, se refiere a si puede haber un algoritmo para la conciencia, que Penrose refuta enfáticamente y exhaustivamente sobre la base del Teorema de Gödel. Penrose argumenta que la conciencia no es computable. Elon Musk no parece estar de acuerdo y me pregunto qué piensa Geordie Rose, el fundador del fabricante de computadoras cuánticas D-Wave.

Está la cuestión de la hipótesis de Riemann. No está comprobado, pero he oído que muchas matemáticas importantes comienzan con el supuesto de que es cierto. ¿Es esta una buena idea? Probablemente, pero supongo que podría debatirse.