¿Cuál es el método para calcular una raíz cuadrada a mano?

Bueno, si está buscando una fórmula que le brinde un resultado aproximado pero rápido, probablemente Newton-Raphson o Expansión binomial es el camino a seguir. Pero aquí hay un resultado interesante que te ayuda a calcular raíces cuadradas. Consume mucho tiempo, pero no deja de ser interesante.

Sea [math] x [/ math] una aproximación a la raíz cuadrada de [math] n [/ math]. Entonces [math] \ frac {x + n} {x + 1} [/ math] es una aproximación aún mejor. Es mejor en el sentido de que [matemáticas] | \ frac {x + n} {x + 1} – \ sqrt {n} | <| x - \ sqrt {n} | [/ math]. Intentaré dar una prueba "ligeramente fuera de estructura" para lo mismo. Como estoy tratando de encontrar la raíz cuadrada de [math] n [/ math], asumiré con seguridad que [math] x [/ math] es positivo.

Reclamación : [matemáticas] | \ frac {x + n} {x + 1} – \ sqrt {n} | <| x - \ sqrt {n} | [/ math] [math] \ Leftrightarrow (\ frac {x + n} {x + 1} - \ sqrt {n}) ^ 2 <(x - \ sqrt {n} ) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow (\ frac {x + n} {x + 1}) ^ 2 – 2 \ sqrt {n} (\ frac {x + n} {x + 1}) [matemáticas] \ Leftrightarrow (\ frac {x + n} {x + 1} + x) (\ frac {x + n} {x + 1} -x) <2 \ sqrt {n} (\ frac {x + n} {x + 1}) - x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftrightarrow [/ matemáticas]

[matemáticas] 1.) \ frac {x + n} {x + 1}> x \ Rightarrow \ frac {x + n} {x + 1} + x <2 \ sqrt {n} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] 2.) \ frac {x + n} {x + 1} 2 \ sqrt {n} [/ matemáticas]

Veamos el primer caso. El método es similar para el segundo caso.

[matemáticas] \ frac {x + n} {x + 1}> x \ Leftrightarrow x <\ sqrt {n} \ Leftrightarrow \ frac {x + n} {x + 1} <\ sqrt {n} [/ math]
Por lo tanto, [matemáticas] \ frac {x + n} {x + 1} + x <\ sqrt {n} + \ sqrt {n} = 2 \ sqrt {n} [/ matemáticas]

Del mismo modo, uno puede mirar el segundo caso.

QED 😀

Ahora siga repitiendo el proceso mencionado anteriormente y sucesivamente obtendrá mejores y mejores aproximaciones a [math] \ sqrt {n} [/ math]

Tomemos su ejemplo de [matemáticas] y = 22 [/ matemáticas]. Comenzaré con [matemáticas] x_ {1} = 5 [/ matemáticas].
Entonces [matemáticas] x_ {2} = \ frac {x_ {1} +22} {x_ {1} +1} = 4.5 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {3} = \ frac {x_ {2} +22} {x_ {2} +1} = 4.818181818181818 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {4} = \ frac {x_ {3} +22} {x_ {3} +1} = 4.609375 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {5} = \ frac {x_ {4} +22} {x_ {4} +1} = 4.743732590529248 [/ matemáticas]

Observe que cada respuesta nos acerca cada vez más al valor verdadero de [math] \ sqrt {22} [/ math] que es [math] 4.690415759823430 [/ math]

Todos los métodos discutidos hasta ahora se vuelven aritméticamente tediosos muy rápido. Creo que necesitarías al menos una calculadora de bolsillo para hacer todas las multiplicaciones y divisiones de varios dígitos. Son excelentes métodos para aprender algunas matemáticas fundamentales, pero no son prácticos si solo tienes papel y lápiz. Para el cálculo realmente manual de raíces cuadradas, use la modificación de la división larga que se enseñó (al menos a nuestra clase) en sexto grado. Es el método bajo Decimal (base 10) en el artículo de Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Met… . El siguiente formato del segundo ejemplo puede hacer que la explicación Wiki del método sea un poco más fácil de seguir.
1. 4 1 4 2
/ /
\ / 02.00 00 00 00
02
1 * 1 -> 01
01 00
2 4 * 4 -> 00 96
04 00
28 1 * 1 -> 02 81
01 19 00
282 4 * 4 -> 01 12 96
06 04 00

Espero no ser la única persona que recuerda esto. Eso podría hacerme sentir muy viejo. Al menos el artículo de Wiki fue citado por Changqi Cai.

Editar: Mi ejemplo de la raíz cuadrada de 2 fue fácil, especialmente porque muchas personas saben la respuesta correcta al menos a 3 decimales. Pero aquí está la aplicación para Sqrt [20]. Los números que tienes que multiplicar a mano son algo mayores.

4. 4 7 2 1
/ /
\ / 20. 00 00 00 00
20
4 * 4 -> 16
4 00

8 4 * 4 -> 3 36
64 00
88 7 * 7 -> 62 09
1 91 00
894 2 * 2 -> 1 78 84
1216 00
8944 1 * 1 -> 894 41

Mi calculadora de bolsillo dice Sqrt [20] = 4.4721360

Editar: Aquí está el origen del método, para aquellos interesados:
y es el número que está tratando de encontrar. Es decir, sabes y ^ 2.
Numere los pasos, comenzando con n = 0 cuando escriba el primer entero aproximado.
a es la aproximación después de n-1 pasos.
En el enésimo paso
y = a + R. Si supieras R, estarías terminado. En cambio, repacemos R con el entero I para obtener la siguiente cifra significativa en la aproximación. Expandir y ^ 2 y multiplicar ambos lados por 10 ^ 2n da
(10 ^ 2n) * (y ^ 2 – a ^ 2) ~ [2 (10 ^ n) a + (10 ^ n) I] [(10 ^ n) I]
El lado izquierdo de la ecuación anterior es el resto del paso anterior, con el decimal movido.

Me gustan varios de los métodos descritos anteriormente, y si simplemente quisiera los términos de la expansión decimal, probablemente usaría el descrito por Ed Caruthers, pero aún no he visto a nadie mencionar este enfoque para obtener un [ es decir, con todos los numeradores 1] aproximación de fracción continua, (no especificó si deseaba una aproximación decimal o no) Los convergentes de una fracción continua simple tienen algunas propiedades agradables y generalmente serán muy buenas aproximaciones (en el sentido de que vienen más cerca del número que está tratando de aproximar que cualquier otro número racional con un denominador más pequeño); además, aunque los detalles a continuación pueden parecer engorrosos, en realidad son relativamente fáciles de hacer con lápiz y papel.

Comience con un número, como [math] \ alpha_0 = \ sqrt {22} [/ math], y escríbalo como una parte entera, [math] a_0 = \ left \ lfloor \ sqrt {22} \ right \ rfloor = 4 [/ math] más un resto entre 0 y 1, es decir, [math] r_0 = \ sqrt {22} – a_0 = \ sqrt {22} – 4 [/ math].

Establecer [matemáticas] \ alpha_1 = \ frac {1} {r_0} = \ frac {1} {\ sqrt {22} -4} = \ frac {\ sqrt {22} +4} {22-16} =
\ frac {\ sqrt {22} +4} {6} [/ math] e itera el proceso.

Es decir, una vez que sepamos [matemáticas] \ alpha_n [/ matemáticas], estableceremos
[matemática] a_n = \ left \ lfloor \ alpha_n \ right \ rfloor [/ math], [math] r_n = \ alpha_n – a_n [/ math] y [math] \ alpha_ {n + 1} = \ frac {1} {r_n} [/ math].

Entonces, por ejemplo [math] a_1 = \ left \ lfloor \ frac {\ sqrt {22} +4} {6} \ right \ rfloor = 1 [/ math], [math] r_1 = \ frac {\ sqrt {22 } +4} {6} – 1 = \ frac {\ sqrt {22} – 2} {6} [/ matemáticas]
y [matemáticas] \ alpha_2 = \ frac {6} {\ sqrt {22} – 2} = \ frac {6 \ sqrt {22} +12} {22 – 4} = \ frac {\ sqrt {22} +2 } {3} [/ math], que muestra que [math] a_2 = 2 [/ math].

Si itera este proceso (y comenzó con un [math] \ alpha_0 [/ math] que no era en sí mismo un entero, sino que era la raíz cuadrada de un entero) eventualmente alcanzará un [math] r_k [/ math] que es lo mismo que [math] r_0 [/ math] y el proceso comenzará a alternar con [math] a_ {k + 1} = a_1 [/ math], etc. (el último [math] a_k [/ math] antes de que comience el ciclo será dos veces [math] a_0 [/ math], pero [math] a_0 [/ math] no será parte del ciclo)

en el caso de [math] \ alpha_0 = \ sqrt {22} [/ math], la expansión de fracción continua simple es
[matemáticas] [4,1,2,4,2,1,8, 1,2,4,2,1,8, \ ldots] [/ matemáticas], que representa la fracción
[matemáticas] 4 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {2+ \ frac {1} {4 + \ frac {1} {2+ \ cdots}}}} [/ matemáticas]

con convergentes (¡también hay un atajo útil para calcularlos!)
[matemáticas] 4, 5, 14/3, 61/13, 136/29, 197/42, \ ldots [/ matemáticas]

[matemáticas] 61/13 [/ matemáticas] ya es bueno para 2 decimales (de hecho, el error es menor que [matemáticas] .0019 [/ matemáticas]) y [matemáticas] 197/42 [/ matemáticas] se aproxima a [matemáticas ] \ sqrt {22} [/ math] con un error de menos de [math] 1/16000 [/ math].

Hay tres métodos para encontrar la raíz cuadrada de un número sin ponerlo directamente en una calculadora:
– Bisección de intervalo
– Interpolación linear
– Método Newton-Rhapson

La bisección por intervalos es básicamente una versión más avanzada de prueba y mejora (muy probablemente vista en las matemáticas de la escuela intermedia), pero como es precisa hasta el punto decimal, se vuelve muy lenta y difícil sin una calculadora para ayudar con las respuestas. El siguiente ejemplo muestra el método para encontrar la raíz cuadrada de 7.

El método de interpolación lineal también consume mucho tiempo en el sentido de que implica la repetición para obtener una respuesta precisa. Consiste en usar triángulos similares gráficamente para encontrar el valor correcto de la raíz cuadrada.
En tu caso, para encontrar la raíz cuadrada de 22, es lo mismo que decir x = raíz cuadrada 22, que si cuadras ambos lados te dará x ^ 2 = 22, y te dará la función f (x) = x ^ 2 – 22.
Usted sabe que 22 está entre la raíz cuadrada 16 y la raíz cuadrada 25, por lo tanto, el intervalo que usará para esto es [4,5]
Si tomara el número 4 para su x, su función será f (4) = 4 ^ 2 – 22, que es igual a – 6, y si tomara el número 5 como su x, su función será f ( 5) = 5 ^ 2 – 22 que es igual a 3
Una vez que tenga sus valores, los sustituirá en la fórmula:

5 – x = 3
x – 4 6 que es igual a 6 (5-x) = 3 (x-4) que te da 30 – 6x = 3x -12

que si pones a un lado te da 9x = 42, lo que significa que tu x es aproximadamente igual a 42 sobre 9. Se puede lograr un resultado más exacto repitiendo el proceso con sustitución pero requiere una calculadora.

El último método es el método de Newton-Rhapson que sigue la fórmula:

Xn + 1 = Xn – F (x)
F ‘(x)

En su caso, f (x) es x ^ 2 – 22, y la diferencia ‘f’ (x) es 2x
Como sabes que 22 está cerca de 25, tomas la raíz cuadrada de 25, que es 5, y que se sustituirá en Xn.

entonces su fórmula irá como: x1 = 5 – (5) ^ 2 – 22
2 (5)
que es igual a x1 = 5 – -6
10
entonces tu raíz cuadrada de 22 es aproximadamente 5 – -6
10
Espero que esto responda a tu pregunta, esta es la primera vez que respondo una pregunta basada en matemáticas, así que disculpa si mi gramática matemática no es correcta.

Bueno, después de leer varias respuestas, me gustaría compartir este método, según el cual la raíz cuadrada de un número encontrado puede tener una precisión de hasta 2 decimales.

Así es como funciona:

Supongamos que el número dado es 40, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Piense en un número cuyo cuadrado sea cercano a 40. En nuestro caso puede 6 o 7, 6 cuadrados rinden 36 y 7 cuadrados rinden 49.
2. Elija el número cuyo cuadrado está más cerca del número dado. En nuestro caso, se elige 6, ya que produce 36, que está más cerca de 40.
3. Divide el número dado con el número elegido, es decir 40/6 rinde 6.6
4. Encuentre el promedio del cociente obtenido anteriormente y el número elegido, es decir, (6 + 6.6) / 2 produce 6.3 , que es la raíz cuadrada aproximada de 40.
5. Verifique los resultados con una calculadora.

Resultado de la calculadora: la raíz cuadrada de 40 es 6.32

Resultado calculado: la raíz cuadrada de 40 es 6.3

Practica y practica con diferentes números hasta que el método se sienta cómodo.

Gracias por leer. Siéntase libre de añadir sugerencias.

Enlace al blog:

https://www.oyewiki.com/educatio …

Para agregar al papel iterativo y métodos basados ​​en computadora (expansión de Taylor, teorema binomial, medio intervalo, Newton-Raphson, etc.)

También puedo recomendar otros dos métodos:

1. Si generalmente no se necesita una “precisión” de más de dos decimales, puede usar una regla de cálculo, porque la pregunta no indica explícitamente que está esperando algún tipo de método iterativo basado en papel.

Una regla de cálculo funciona al tener dos o más reglas que se alinean una al lado de la otra. Multiplicas y divides sumando o restando usando los dos números.

Si la tercera regla se escala linealmente, no logarítmicamente, entonces puedes obtener una raíz cuadrada dividiendo el logaritmo del número por dos,

en otras palabras, si la escala superior es log y la escala inferior es lin

luego mira el número BAJO

y luego encontrar el valor de 10 (si estamos usando logaritmos de base 10) para ese poder

en otras palabras, mira el número SOBRE

Entonces, para la raíz cuadrada de 22, tenemos log (22) = 1 + log (2.2), dividiendo por 2 = 0.5 + (log (2.2) / 2),

y luego calculamos (10) ^ 0.5 y lo multiplicamos por (10) ^ (log (2.2) / 2)

que es 3.16 * 1.48 = 4.69

2. También hay otro método basado en papel, que se parece a una división larga, que es una variante del método de “medio intervalo” de Newton.

Raíces cuadradas con lápiz y papel: método

¿Por qué puedo recomendar estos métodos ARCHAIC?

Porque los he usado A MENUDO. No fue hace tanto tiempo cuando incluso alguien que entendía las matemáticas no tenía fácil acceso a las calculadoras electrónicas o las computadoras.

Mi primera calculadora no tenía una clave de raíz cuadrada. La primera computadora que programé usó tarjetas perforadas.

Entonces, incluso cuando más tarde tuve una calculadora programable, preferí usar una regla de cálculo en mis exámenes de física.

Después de todo, la precisión requerida era solo dos decimales, tenía que mostrar todo mi trabajo de todos modos, e incluso si hubiera cometido un error de cálculo, solo perdería un punto.

Sé que revelo algo sobre mi edad y antecedentes por este comentario, pero ustedes, niños. que han crecido esperando que la entidad cibernética solo te escupe un valor,

realmente necesitas caminar primero antes de correr, si realmente quieres apreciar lo indefensos que NO ESTAMOS

si en medio de un examen de física nuestra calculadora muere sobre nosotros. Mi regla de cálculo circular incluso hizo funciones hiperbólicas y trigonométricas.

Haga un marco de una caja con la especificación a continuación. Luego, la raíz cuadrada de 22 se puede calcular midiendo la longitud de la diagonal del espacio (el segmento de línea roja).

Editar:
Aquí está la versión bidimensional de la misma, basada en el mismo principio.

Para general [math] \ sqrt {n} [/ math] podemos hacer lo siguiente. Primero, según el teorema de Lagrange (teorema de cuatro cuadrados de Lagrange), cada entero positivo [matemáticas] n [/ matemáticas] se puede escribir como la suma de cuatro cuadrados, [matemáticas] n = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas]. Ahora podemos hacer una construcción similar a la anterior para obtener [math] \ sqrt {n} [/ math]

El cálculo de una raíz cuadrada a mano es un poco como la división de mano larga.
Suponga que necesita encontrar la raíz cuadrada de 66564. Establezca una “división” con el número debajo del radical. Marque pares de dígitos, comenzando desde el punto decimal y trabajando a la izquierda. (Aquí el punto decimal es un punto (.) Y comas (,) marcan pares de dígitos).
___________
\ / 6,65,64.
Mire los dígitos más a la izquierda (6 en este caso). ¿Cuál es el número más grande cuyo cuadrado es menor o igual que él? Es 2, cuyo cuadrado es 4. Escribe 2 arriba, escribe el cuadrado de abajo y resta. __2________
\ / 6,65,64.
-4
—-
2
Ahora baje los siguientes dos dígitos (65). El siguiente “divisor” es el doble del número en la parte superior (2 × 2 = 4) y algún otro dígito en la posición de las unidades (4_). __2________
\ / 6,65,64.
-4
—–
4_) 265
¿Cuál es el número más grande que podemos poner en las unidades y también multiplicar por el divisor de modo que el resultado sea aún menor o igual a lo que tenemos? (Algebraicamente, ¿qué es d tal que d × (40 + d) ≤ 265?) Parece que 6 podría funcionar (ya que 6 × 40 = 240), pero 6 es demasiado grande, ya que 6 × 46 = 276: __2__ 6 _____
\ / 6,65,64.
-4
—–
4 6 ) 265
-276 DEMASIADO GRANDE
Entonces prueba 5 en su lugar. __2__ 5 _____
\ / 6,65,64.
-4
—–
4 5 ) 265
-225
——-
40

Electrikals

Este método funciona para cualquier número real, pero lo usaré para sqrt29.

Raíz cuadrada de 29 sin una calculadora? Ok, aquí va.

sqrt29

Encuentre el cuadrado perfecto más cercano que no exceda el número cuya raíz cuadrada se busca. En nuestro caso es 5 × 5 = 25. Entonces multiplicaremos el número por 25/25, lo que no cambiará su valor.

= sqrt (29 × 25/25) = sqrt [(29/25) (25)] = 5sqrt (29/25)

Haz la división indicada y obtén un decimal.

= 5sqrt (1.16)

Ahora encontramos un cuadrado perfecto que está cerca pero que no excede 1.16, así como encontramos un cuadrado perfecto que estaba cerca pero que no excede 29. Voy a hacer esto cuadrando un número racional que creo que dame ese cuadrado perfecto.

Intentaré 1.07 x 1.07, ver qué tan cerca me acerco.

= 1.1449, un cuadrado perfecto cercano a 1.16 pero sin excederlo.

5sqrt (1.16) = 5sqrt (1.16 x 1.1449 / 1.1449)

= 5sqrt [(1.16 / 1.1449) (1.1449)]

= 5 × 1.07sqrt (1.16 / 1.1449)

Haz la división y reemplaza la fracción en el signo de la raíz cuadrada por un decimal. llévelo a seis o siete lugares o más, según la precisión máxima que desee.

= 5 × 1.07xsqrt (1.0131889)

Encontraré un cuadrado perfecto cerca del decimal pero sin excederlo por prueba y error, pero en realidad ya puedo adivinar cuál será. Será 1.006.

En realidad, hay muchas posibilidades, pero esta será conveniente porque es un número simple. No es necesario volverse complejo con este método porque es como acorralar a un caballo. Poco a poco conseguiremos el caballo.

1.006 x 1.006 = 1.012036, que es un cuadrado perfecto, cercano pero no superior a 1.0131889.

Ahora repitamos lo que hicimos en las otras etapas.

5 × 1.07sqrt [(1.0131889) (1.012036 / 1.012036)]

= 5 × 1.07sqrt (1.0131889 / 1.012036) (1.012036)

= 5 × 1.07 × 1.006x sqrt (1.0131889 / 1.012036)

Convierta la fracción a un decimal usando la división.

= 5 × 1.07 × 1.006xsqrt (1.0011391) [es una estimación, por supuesto, llevada a solo 7 lugares.]

Mirando esto, generaré mi cuadrado perfecto por prueba y error, pero puedo ver rápidamente cuál será un buen valor para elegir, es decir, 1.0005 × 1.0005. La regla general es que si uno tiene un número 1 + algún número pequeño, la raíz cuadrada de ese número es aproximadamente 1 + un poco menos de la mitad de ese número pequeño. Esto reduce la prueba y el error considerablemente. Entonces tenemos 1.0011 …, y elijo 1.0005 × 1.0005. Todavía tengo que verificarlo.

1.0005 x 1.0005 = 1.00100025, que está cerca pero menos de 1.0011391. Ahora voy a hacer algo complicado y soltar el .00000025, porque es lo suficientemente pequeño como para ignorarlo para nuestros propósitos. Entonces nos quedamos con 1.001.

Reescribiendo, tenemos

5 × 1.07 × 1.006xsqrt (1.0011391) (1.001 / 1.001)

= 5 × 1.07 × 1.006xsqrt (1.0011391 / 1.001) (1.001)

= 5 × 1.07 × 1.006 × 1.0005xsqrt (1.0011391 / 1.001)

Hacemos la división indicada, pero la llevamos tan lejos como sea necesario.

= 5 × 1.07 × 1.006 × 1.0005xsqrt1.00013 .. y sqrt1.00013, por la regla general mencionada anteriormente, se pueden reemplazar por 1.00006.

Entonces multipliquemos todos los números:

5 × 1.07 × 1.006 × 1.0005 × 1.00006 = 5.3851141375

Cuadrando ese número, obtenemos 28.9994542735. Tenga en cuenta que lo bajamos.

Al cambiar solo el último factor a 1.00007, podemos aumentarlo, 5.3851679854. Comparando los dos, podemos decir:

5.38511

Todos estos cálculos se pueden hacer con relativa facilidad sin una calculadora, aunque para las últimas multiplicaciones utilicé una calculadora porque tengo prisa.

Desarrollé este método y doy presentaciones sobre él. Es un método que usa proporciones, no diferencias. Es fácilmente extensible hasta la quinta raíz de un número, lo que permite encontrar la décima raíz de un número y establecer una tabla logarítmica para la base diez. Su salida es una serie de factores. Tutor de matemáticas Peter Duveen, Hebron, NY correo electrónico: [correo electrónico protegido] y Facebook.

En realidad, en la escuela en España en el sexto grado, aprendimos cómo resolver cualquier tipo de raíz cuadrada ℝ usando el siguiente método:

CÓMO APRENDERLO:
Si escribe en youtube “resolviendo la raíz cuadrada manualmente”, ¡podrá encontrar muchos materiales de aprendizaje!

Podemos usar el método Newton-Raphson.

La idea del método es la siguiente: uno comienza con una suposición inicial que está razonablemente cerca de la raíz verdadera, luego la función se aproxima por su línea tangente (que se puede calcular usando las herramientas de cálculo), y uno calcula la x -intercepción de esta línea tangente (que se hace fácilmente con álgebra elemental). Esta intersección con x normalmente será una mejor aproximación a la raíz de la función que la suposición original, y el método puede iterarse.

Suponga que ƒ: [a, b] → R es una función diferenciable definida en el intervalo [a, b] con valores en los números reales R. La fórmula para converger en la raíz puede derivarse fácilmente. Supongamos que tenemos una aproximación actual xn. Entonces podemos derivar la fórmula para una mejor aproximación, xn + 1 al referirnos al diagrama de la derecha. La ecuación de la línea tangente a la curva y = ƒ (x) en el punto x = xn es

donde ƒ ‘denota la derivada de la función ƒ.

La intersección x de esta línea (el valor de x tal que y = 0) se utiliza como la próxima aproximación a la raíz, xn + 1. En otras palabras, establecer y en cero y x en xn + 1 da

Resolver para xn + 1 da

Así que vamos a rockear, ahora, quiero saber la raíz cuadrada de 3

Deje f (x) = x²-3, f ‘(x) = 2x

Está claro que

X0 = 3/2

la raíz cuadrada de 3 es 1.732050808

Te diré una regla general simple para llegar a una respuesta muy cercana y aproximada , algo que descubrí por mí mismo y que es cierto en todos los casos. Tomemos el ejemplo de 22. Ahora, el número inmediato menor que 22 que es un cuadrado perfecto es 16- y su raíz cuadrada es 4. El número inmediato mayor que 22 que es un cuadrado perfecto es 25- y su raíz es 5. La diferencia entre 16 y 25 es 9.
22-16 = 6
la relación entre (22-16) / (25-16) = 0.666 …
Simplemente agregue la proporción anterior a 4 y tendrá una respuesta lo suficientemente cercana, en este caso 4.666… ~ 4.67, no muy lejos de la respuesta precisa.

Ahora consideremos otro ejemplo: raíz cuadrada de 381. la raíz de 361 (cuadrado perfecto inferior inmediato) es 19 y la raíz de 400 (cuadrado perfecto superior inmediato) es 20.
la relación (381-361) / (400-361) ~ 0.52. Entonces, la respuesta sale 19.52, que está muy, muy cerca de la respuesta precisa.

( Esta es la forma interesante de formar números cuadrados o encontrar raíces cuadradas cuando se cuentan los números de triángulo … Pensé que también compartiría el significado detrás de este patrón geométrico simple y hermoso).

5 (cuadrado) = 5 × 5 = 25

Y viceversa, √25 = 5.

¡Un método interesante para calcular números cuadrados o raíz cuadrada es dibujar Sri Saraswati Yantra! Antes de continuar con la respuesta a esta pregunta, explicaré los antecedentes.

Según la mitología hindi, ‘Saraswati’ es venerada como la diosa del aprendizaje, el conocimiento, la música, el arte y la sabiduría. Saraswati simboliza el poder creativo de Brahma. Saraswati Yantra dibujó principalmente con motivo de ‘Saraswati Pujan’ (dassera / Diwali en India). Diosa Saraswati es adorada por todas las personas interesadas en el conocimiento, especialmente los estudiantes, maestros, académicos y científicos.

Diosa representada simbólicamente de muchas maneras, a continuación se encuentra el Yantra comúnmente dibujado. Los elementos en este dibujo son ‘1’ numérico en Devanagari Script, líneas rectas y curvas dibujadas al final alrededor de cada número.

Ahora, curiosamente, este yatra da el número cuadrado de n no. de ‘1’ escribimos en una fila, y crea una relación cuando no. de formas de triángulos al crear el patrón.

Y así..

Yantra generalmente dibuja con cinco, siete y nueve de ‘1’s,

Este patrón solo da raíz cuadrada de cuadrados perfectos.

Mi método favorito para calcular la raíz cuadrada de cualquier número positivo es tomar la expansión de fracción continua generalizada de las raíces cuadradas. (Lo siguiente usa enteros como ejemplo, pero cualquier z, x, y que satisfaga z = x ^ 2 + y funciona).

Si z = x ^ 2 + y (por ejemplo, 129 = 11 ^ 2 + 8), el sqrt (z) = x + y / (2x + y / (2x + y / …), o sqrt (z) = x + y / (x + sqrt (z)) (cancele el denominador del segundo término para ver que esto es cierto). Entonces, los términos S_0 = x, S_1 = x + y / (x + S_0), S_2 = x + y / (x + S_1), S_3 = x + y / (x + S_2), … convergerá a la raíz cuadrada de z. Ie S_i = x + y / (x + S_ (i-1))

Por ejemplo, para 129, x = 11 e y = 8 (x puede ser cualquier número, al igual que y, pero estas opciones mantienen x e y pequeño),
S_0 = 11
S_1 = 11 + 8 / (11 + 11) = 11.3636363 …
S_2 = 11 + 8 / (11 + 11.3636363) = 11.357723577
S_3 = 11 + 8 / (11 + 11.357723577) = 11.357818181
S_4 = 11 + 8 / (11 + 11.357818181) = 11.357816668

El valor verdadero es 11.357816692, por lo que el valor converge bastante rápido.

De hecho, existen soluciones de fracción continua generalizadas para cualquier raíz racional de cualquier número. Dado que los racionales son densos en los reales (es decir, existe una secuencia de Cauchy racional para todos los reales), esto permite calcular aproximaciones cercanas arbitrarias a raíces reales valoradas de reales positivos.

Hay una manera. La raíz cuadrada se puede encontrar tomando expansión binomial.
si tiene un número, digamos = 76. El cuadrado más cercano es 64. escríbalo como 64 + 12. Ahora tome 64 afuera. Se convierte en 64 (1 + 12/64). Básicamente, estamos tratando de hacer que parezca un cuadrado perfecto x (1+ k) donde k <1. Ahora, si sacamos raíz cuadrada, obtenemos [math] \ sqrt {x} \ sqrt {1 + k} [/ math] que dará como resultado un número entero [math] \ times \ sqrt {1 + k} = 1 + \ frac {1} {2} k - \ frac {1} {8} k ^ 2… \ aprox 1 + \ frac {1} {2} k [/ math]. Puede derivar esto del cálculo utilizando la expansión de taylor o mclaurin.
Entonces, para nuestro ejemplo, raíz cuadrada de 76 = 8 (1 + 1/2 * 12/64) 8 × 1.09 = 8.72.

Hay otro método que he probado. Pero esta vez un poco lento, pero puede calcular cualquier número elevado a cualquier número. Decir raíz 100 de 100. Sí, puedes. No se requiere calculadora. Debes comprender el registro y la expansión de taylor para entender esto. Esto es aprendiendo log10 de algunos números. No necesitas aprender antilog. Los números que necesitas aprender son:
log 1.01 = 0.0043
log 1.02 = 0.0086
log 1.03 = 0.0128
log 1.04 = 0.0170
log 1.05 = 0.0212
log 2 = 0,3010
log 3 = 0.4771
log 5 = 0.6990. Incluso esto se puede obtener por log (10) -log (2) = 1 – log (2) = .6990
log 7 = 0.8451
Este procedimiento puede parecer largo. Pero no es muy largo
Eso es.
Ahora calcularé la raíz 56 de 37. Ahora necesitamos encontrar el registro de 37. Digamos que conocía el registro 36. Podría encontrar el registro 37 usando el primer término de la expansión de Taylor. Como es log base 10, expansión para log (x + dx) = log x + dx / (2.303 * x) …
como log (A) = ln (A) / ln (10) obtenemos ese factor 2.303.
log 36 = 2 * log2 + 2 * log3. No te confundas. Es simplemente factorización simple de 36 = 2x3x2x3. 2 * (. 3010 +0.4771) = 1.5562. Ahora calcule el registro 37.
dx = 1
1 / {2.303 * 36} aproximadamente = 0.012. Ahora agréguelo a 1.5562 = 1.5683. Compruebe en la calculadora si este número es correcto y confirme que el método es correcto.

Ahora el registro de la raíz 56 será 1.5683 / 56 = 0.0280
Ahora necesitamos encontrar el antilog de 0.0280 que significa 10 ^ 0.0280.
Ahora, si dividimos .0280 en el registro de números diferentes, ya sabemos que eso significa multiplicar esos números, obtendremos 10 ^ 0.0280

Sé log 1.05 = 0.212, log 1.01 = 0.0043 Ahora, agregándolos obtengo 0.0255. Para llegar a 0.0280 necesito un número cuyo registro es 0.0025.

Para números pequeños, 10 ^ x puede aproximarse como 1 + x * ln 10. Nuevamente, la expansión de Taylor. O puede derivarlo del límite x tiende a cero (1+ Ax) ^ 1 / x = e ^ A donde A = ln 10, que significa RHS = 10. Reordenando lo que obtenemos 10 ^ x = (1 + x * ln 10 ) para valores pequeños de x.

Volver al problema 1 + 2.30 * .0025 = 1.00575. Ahora tenemos los números que se agregarán para hacer un total de 0.028 = .0212 + 0.0043 + .0025, lo que significa que multiplicar los números cuyos valores de registro son los sumandos individuales le dará la respuesta. es decir, antilog de 0.280. Es 1.05 * 1.01 * 1.00575. Puede usar la expansión binomial y multiplicar 1.01 y 1.0057 como 1.0157. Ahora multiplique 1.05 por 1.0157 = 1.0664. Para confirmar que los cálculos son correctos, la calculadora dice 1.0665 ^ 56 = 36.6

Entonces, este método se basa en la linealización de la curva [math] y = x ^ 2 [/ math].

Suponga que desea calcular la raíz cuadrada de [math] y [/ math]:

1. Encuentre el número entero [math] i [/ math] tal que, [math] i ^ 2

2. [matemática] \ sqrt {y} \ aprox. I + (yi ^ 2) / (2i + 1) [/ matemática]. En el caso de [matemáticas] y = 22 [/ matemáticas], [matemáticas] \ sqrt {y} = 4.67 [/ matemáticas]

Se puede hacer fácilmente a mano.

He adjuntado un diagrama de matlab que compara la función sqrt con mi método:
El diagrama rojo es la función sqrt real y el diagrama azul es mi aproximación. Converge con el resultado real por [matemáticas] x \ aprox 20 [/ matemáticas].

Aquí hay una respuesta de la geometría:
Para encontrar la raíz cuadrada de un número [matemática] x [/ matemática]:

Divida el número [math] x [/ math] en dos partes, de modo que el producto de las dos partes sea [math] x [/ math] en sí. (Por ejemplo, 12 se puede dividir en (4 y 3) o (6 y 2), lo que quiera o prefiera. Por lo tanto, si [matemática] x [/ matemática] es primo, siempre puede dividirse en [matemática] x [/ math] y 1.). Ahora, digamos que [math] x [/ math] se divide en [math] a [/ math] y [math] b [/ math].

Dibuje un segmento de línea de longitud [math] (a + b) [/ math] y construya un semicírculo con diámetro [math] (a + b) [/ math] así:

Ahora, en el punto donde se tocan los dos segmentos de línea, dibuje una perpendicular al diámetro y extienda la perpendicular a la periferia del círculo (de longitud [matemática] m [/ matemática]:

La longitud de esta bisectriz [matemática] m [/ matemática] será:
[matemáticas] m = \ sqrt {ab} [/ matemáticas]

Aquí es por qué:
Si dos acordes se cruzan en un círculo, el producto de las longitudes de los segmentos de un acorde es igual al producto de los segmentos del otro.

Entonces, en el diagrama a continuación, [matemáticas] AE \ cdot BE = CE \ cdot DE [/ matemáticas]:
Si uno de los acordes es un diámetro, bisecará la perpendicular (digamos [matemáticas] CD [/ matemáticas] es un diámetro y AB es la perpendicular, entonces [matemáticas] AE = BE [/ matemáticas]), y por lo tanto, [ matemáticas] m \ veces m = a \ veces b [/ matemáticas]
o [matemáticas] m = \ sqrt {ab} [/ matemáticas]

Por lo general, uso la fórmula de cálculo, toma menos de 10 segundos

√N = X ± (X² ~ N) / 2X

Para encontrar la raíz cuadrada de 22, encuentre el cuadrado perfecto más cercano, es decir, 25 y su raíz, que es 5. Deje que sea x.
Ahora raíz 22 = 5- (25-22) / 10
= 5-0.3
= 4.7

El método de Newton dice que

encuentre la solución para x ^ 2 = s

Ahora deje que f (x) = x ^ 2-s

Hallazgo es lo mismo que resolver la ecuación . Por lo tanto, se puede usar cualquier algoritmo numérico general de búsqueda de raíces. El método de Newton, por ejemplo, se reduce en este caso al llamado método babilónico:

Realice este paso 5-6 veces y obtendrá una respuesta aproximada …

Incluso el Math.sqrt en C usa el mismo método …