Tomaré un enfoque relativista general. A continuación, el espacio-tiempo es una variedad riemanniana (de hecho lorentziana).
Las ecuaciones de Einstein relacionan la masa / energía del espacio-tiempo con la curvatura del espacio-tiempo. En una forma muy compacta, las ecuaciones de Einstein se pueden escribir como
[matemáticas] G = cT [/ matemáticas]
donde [matemáticas] G [/ matemáticas] es el tensor de Einstein (que es una función de la métrica del espacio-tiempo) y [matemáticas] T [/ matemáticas] es el tensor de energía de estrés que captura el contenido de materia del espacio -hora.
Una solución de vacío de la ecuación de Einstein es un espacio-tiempo para el cual el tensor de energía de estrés desaparece, es decir, no hay fuerzas de masa o no gravitacionales. Esto implica que el tensor de Einstein también desaparece (lo que concluye que el tensor de Ricci es cero). Es importante notar que la planeidad de Ricci no necesariamente significa que el espacio-tiempo (métrico) sea plano.
Una solución de vacío trivial es el espacio-tiempo plano que no tiene materia ni curvatura.
Pregunta: Una pregunta muy interesante es si podríamos construir soluciones de vacío no triviales de las ecuaciones de Einstein. Como la existencia de tal espacio-tiempo significaría que todavía no hay materia, la curvatura no es cero, es decir, la gravedad no es cero.
Respuesta: sí! El ejemplo más famoso de tal solución es la métrica de Schwarzschild.
Ahora sabemos que una métrica de Schwarzschild admite singularidad (¡agujero negro!) Y es abierta (topológicamente) y extendida.
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Una pregunta inmediata es:
P : ¿Podríamos construir una solución no trivial compacta (cerrada) y suave (es decir, sin singularidad) para las ecuaciones de Einstein de vacío?
es decir, ¿puede haber un espacio-tiempo compacto y liso que contenga cualquier materia cuya gravedad no sea cero?
La pregunta que Calabi hizo puede interpretarse como:
P: ¿Puede haber gravedad en un espacio-tiempo supersimétrico compacto que no tiene importancia?
Así, una vez comprobada, la conjetura de Calabi afirma que, efectivamente, existen tales espacios-tiempos.
¡La supersimetría impone algunas condiciones en el espacio-tiempo que se traducen en ser un distribuidor de Kahler y Calabi-Yau en algunos casos!
Otra pregunta relacionada es: ¿qué variedades de Kahler también son Einstein?
Los colectores planos de Ricci son un caso especial de los colectores de Einstein y la prueba de la conjetura de Calabi da una clase de colectores de Kahler-Einstein.
Para los más curiosos: si la primera clase de Chern de una variedad Kahler es negativa o cero (CY), también es una variedad Einstein.
