Una de las razones originales por las cuales los matemáticos, a principios de los 90, se interesaron en la teoría de Gromov-Witten fue porque ofrecía una nueva forma de abordar algunas preguntas geométricas “clásicas”, como la pregunta “cuántas curvas d (complejas) pasan a través de puntos genéricos 3d-1 en el plano (CP ^ 2)? “. Esta pregunta generaliza la conocida afirmación de que, dados dos puntos distintos en el plano, hay una línea única que pasa por esos dos puntos.
La teoría de GW no solo dio una respuesta explícita a esta pregunta general, sino que lo hizo dentro de un marco nuevo hermoso y rico que anteriormente ni siquiera habían sido considerados por los matemáticos. La nueva idea esencial, proveniente de la teoría de cuerdas, era “degenerar” la curva en una curva singular formada por curvas más simples que están “pegadas”.
Además, mientras que anteriormente estas preguntas enumerativas eran simplemente curiosidades matemáticas sin sentido, la teoría de GW demostró que tienen un significado adicional e interesante: estos números son constantes estructurales de una deformación del producto de copa en el anillo de cohomología del múltiple objetivo ( en mi ejemplo esto es CP ^ 2). Esta cohomología deformada se llama “cohomología cuántica”.
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Otra cosa importante que vale la pena mencionar es que, dado que cada múltiple simpléctico tiene una estructura casi compleja, la teoría GW se extiende al estudio de curvas pseudoholomórficas en cualquier múltiple simpléctico. Esto proporciona una fuente potencial de invariantes simplécticos, que de otro modo puede ser bastante difícil de encontrar y calcular.
Todo esto es solo la punta del iceberg. En términos de física, la teoría GW es el “modelo A de cadena cerrada”, y otra idea de la teoría de cuerdas, llamada simetría de espejo, postula que existe una teoría “espejo”, el “modelo B de cadena cerrada”. Los dos lados “espejo” se definen de manera diferente y se calculan de manera diferente, pero los resultados son los mismos. La razón por la cual los matemáticos están interesados en esto es porque da un puente entre las matemáticas del modelo A (geometría simpléctica) y las matemáticas del modelo B (geometría algebraica). Este puente ha sido muy fructífero y ha permitido a los matemáticos responder preguntas sobre el lado del modelo B utilizando ideas del lado del modelo A y viceversa.
