Una gran aplicación es el campo de la simetría de espejo. La teoría de cuerdas viene en muchas variaciones diferentes, dos de las cuales se conocen como teoría de cuerdas tipo IIA y tipo IIB. El campo de la simetría de espejo surge de la observación de que la teoría de cuerdas de tipo IIA de un colector M dado describe la misma física que la teoría de cuerdas de tipo IIB de colector W diferente, llamada colector espejo. El resultado es que los cálculos que son difíciles de hacer en la teoría de tipo A pueden traducirse en problemas potencialmente más fáciles en la teoría de tipo B o viceversa.
Witten introdujo una versión simplificada de la teoría de cuerdas en la que los dos tipos anteriores se reducen al llamado modelo A y modelo B, los cuales se pueden describir matemáticamente. La descripción matemática de las teorías anteriores es donde entra en juego la geometría algebraica.
La descripción matemática del modelo A se conoce con el nombre de teoría de Gromov-Witten. Dado un espacio M (generalmente una variedad compleja suave), el modelo A de M da recuentos del número de curvas algebraicas complejas de un grado y género específicos que se encuentran en M. Esto se hace creando un nuevo espacio que parametriza todas las curvas en M, y luego contar el número de puntos en este espacio usando la teoría de intersección. Al definir este espacio de parametrización en sus diversas encarnaciones (el espacio de módulos de mapas estables, esquemas de cotizaciones, cuasi-mapas), uno se basa en gran medida en los esquemas teóricos y las pilas. Cabe mencionar que calcular estos números directamente a menudo es extremadamente difícil.
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El modelo B, por otro lado, puede describirse utilizando una geometría algebraica más clásica. Los cálculos en el modelo B implican integrales de funciones valoradas complejas y la resolución de algunos tipos muy especiales de ecuaciones diferenciales (ecuaciones de Picard-Fuchs). La gente ha sabido cómo hacer este tipo de cálculos desde hace un tiempo, al menos media década.
Traducido a términos matemáticos, una consecuencia de la simetría de espejo es que uno debería poder contar el número de curvas complejas que se encuentran en M al traducir el problema al modelo B y resolver algunas ecuaciones diferenciales asociadas al múltiple espejo W. Esto es exactamente El plan fue llevado a cabo por los físicos Candelas, de la Ossa, Green y Parks en 1991, proporcionando recuentos que habían eludido a los matemáticos durante casi un siglo.
Esto provocó una colaboración entre matemáticos y físicos que ha sido fructífera en ambos lados. El encuadre matemático de la simetría del espejo ha conducido a nuevas ideas, como la forma de construir la variedad espejo de una variedad M. Por otro lado, la física detrás de la simetría espejo ha inspirado profundas y sorprendentes conjeturas matemáticas, muchas de las cuales aún no se conocen. ser probado
