Comencemos con la respuesta, verdadero para todos los enteros [matemática] k, [/ matemática] con [matemática] a, b, c, d [/ matemática] real, [matemática] a + bi \ ne 0 [/ matemática] .
[matemáticas] (a + bi) ^ {c + di} = [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {c \ ln (\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}) – d \ textrm {atan2} (b / a) – 2 \ pi kd} \ textrm {cis} (d \ ln ( \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}) + c \ textrm {atan2} (b / a) + 2 \ pi kc) [/ math]
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Siga leyendo para obtener la derivación y algunos ejemplos.
Últimamente me han preguntado [matemáticas] i ^ i, i ^ {1 / i}, (-i) ^ {- i} [/ matemáticas] y [matemáticas] (- i) ^ {\ frac 1 2}. [/ matemáticas] Cuando respondamos la pregunta actual habremos resuelto todo esto y más. Comenzaremos observando que los números complejos están cerrados bajo las operaciones aritméticas habituales, incluida la exponenciación, por lo que siempre que evitemos la división por cero y sus equivalentes (en particular [math] \ ln 0 [/ math]) obtendremos un Número complejo.
Muy a menudo estas expresiones son multivalor. Eso es familiar para cosas como potencias de la mitad, es decir, raíces cuadradas, pero surge mucho más en general.
Comencemos con [matemática] z = a + bi, [/ matemática] [matemática] a, b [/ matemática] real, [matemática] z \ ne 0. [/ Matemática]
Primero escribimos [math] z [/ math] en coordenadas polares. Tenemos [math] | z | = r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ math] y [math] \ angle z = \ theta = \ textrm {atan2} (b / a). [/ matemáticas] Por supuesto, tenemos [matemáticas] r, \ theta [/ matemáticas] real, [matemáticas] r> 0, [/ matemáticas] y sin pérdida de generalidad, [matemáticas] – \ pi <\ theta \ le \ pi. [/matemáticas]
Estoy usando cuidadosamente la función de tangente inversa de cuatro cuadrantes y dos argumentos atan2, con los dos argumentos escritos [math] y / x [/ math] separados por una barra en lugar de una coma para que podamos recordar cuál es cuál. En general, [math] \ textrm {atan2} (b / a) \ ne \ textrm {atan2} (- b / -a) [/ math] pero por lo demás solo depende de la relación de [math] b [/ math] a [matemáticas] a [/ matemáticas]. No tiene ningún problema cuando [math] a = 0 [/ math]. Si desea convertir correctamente las coordenadas rectangulares en coordenadas polares, use la tangente inversa de dos argumentos.
[matemáticas] z = a + bi = re ^ {i \ theta} = | z | e ^ {i \ angle z} = (\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}) e ^ {i \ textrm {atan2 } (b / a)} [/ matemáticas]
Lo haremos primero en coordenadas polares con [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math]. Queremos obtener todo en el exponente, así que vamos a otro paso, que requiere [math] r> 0 [/ math], por lo tanto, [math] z \ ne 0 [/ math]. (Ya necesitábamos [math] z \ ne 0 [/ math] para que el ángulo estuviera bien definido).
[matemáticas] z = e ^ {\ ln r} e ^ {i \ theta} [/ matemáticas]
Ahora hacemos el truco estándar de tener en cuenta que el resultado puede tener múltiples valores (debido a las periodicidades de [matemáticas] 2 \ pi i [/ matemáticas]) al multiplicar por [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [ / math] para entero [math] k [/ math].
[matemáticas] z = e ^ {\ ln r} e ^ {i \ theta} e ^ {2 \ pi ki} = e ^ {\ ln r + i \ theta + 2 \ pi ki} [/ matemáticas]
Estamos interesados en [math] z ^ {c + di} [/ math], [math] c, d [/ math] real.
[matemáticas] (re ^ {i \ theta}) ^ {c + di} = (e ^ {\ ln r + i \ theta + 2 \ pi ki}) ^ {c + di} = e ^ {(\ ln r + i \ theta + 2 \ pi ki) (c + di)} [/ math]
[math] = e ^ {c \ ln r – d \ theta – 2 \ pi kd} e ^ {i (d \ ln r + c \ theta + 2 \ pi kc)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {c \ ln r – d \ theta – 2 \ pi kd} \ textrm {cis} (d \ ln r + c \ theta + 2 \ pi kc) [/ matemáticas]
Usé [math] \ textrm {cis} (t) = \ cos t + i \ sin t [/ math] por brevedad en la conversión a coordenadas rectangulares. Esta es probablemente la forma más fácil de entender el resultado. Pero introduzcamos las coordenadas rectangulares de [math] z [/ math] para obtener una respuesta final.
[matemáticas] (a + bi) ^ {c + di} = [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {c \ ln (\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}) – d \ textrm {atan2} (b / a) – 2 \ pi kd} \ textrm {cis} (d \ ln ( \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}) + c \ textrm {atan2} (b / a) + 2 \ pi kc) [/ math]
Oh mi. Tuve que romperlo en el signo igual para que encajara en una línea.
Trabajaré algunos ejemplos. Es más fácil comenzar desde coordenadas polares:
[matemáticas] (re ^ {i \ theta}) ^ {c + di} = e ^ {c \ ln r – d \ theta – 2 \ pi kd} \ textrm {cis} (d \ ln r + c \ theta + 2 \ pi kc) [/ matemáticas]
¿Qué tal [matemática] 1 ^ {\ frac 1 4}. [/ Matemática] Sabemos que las respuestas son la cuarta raíz de la unidad: [matemática] 1, i, -1 [/ matemática] y [matemática] -i. [/ math] Tenemos [math] r = 1, \ ln r = 0, \ theta = 0 [/ math], entonces [math] 1e ^ 0 = 1. [/ math] [math] c = \ frac 1 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] d = 0 [/ matemáticas]. Escribir solo los términos distintos de cero y los factores de no unidad:
[matemáticas] 1 ^ {\ frac 1 4} = \ textrm {cis} (2 \ pi k / 4) [/ matemáticas]
Para [math] k = 0,1,2,3 [/ math] esto da [math] 1, i, -1, -i [/ math] como se esperaba. Los [math] k [/ math] s más allá de eso suman múltiplos de [math] 2 \ pi [/ math] a uno de estos cuatro ángulos, por lo que no generarán nuevas respuestas. [matemáticas] \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]
¿Qué tal [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas]. [matemáticas] \ ln r = 0 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ theta = \ pi / 2 [/ matemáticas]. [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas]. [matemáticas] d = 1. [/ matemáticas]
[matemáticas] i ^ i = e ^ {- \ pi / 2 – 2 \ pi k} [/ matemáticas]
Eso es puramente real y multivalor. [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas] da [matemáticas] e ^ {- \ pi / 2} \ aprox .2, k = 1 [/ matemáticas] da [matemáticas] e ^ {- 5 \ pi / 2} \ aprox .0004 [/ math], y así sucesivamente para todos los enteros [math] k [/ math]. [matemáticas] \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]
¿Qué es [matemáticas] (- i) ^ {- i} [/ matemáticas]? Ese es el conjugado de [math] i ^ i [/ math], porque el conjugado es lo que obtienes cuando reemplazas [math] i [/ math] con [math] -i [/ math]. El conjugado de un número real es en sí mismo, por lo tanto [matemática] i ^ i = (-i) ^ {- i} [/ matemática], donde se interpreta que la igualdad significa que se refieren al mismo conjunto de valores. Vamos a comprobar eso probando [math] \ ln r = 0, \ theta = – \ pi / 2, c = 0, d = -1 [/ math] en la fórmula.
[matemáticas] (- i) ^ {- i} = e ^ {- \ pi / 2 + 2 \ pi k} [/ matemáticas]
La [matemática] k [/ matemática] tiene el signo opuesto, pero dado que se extiende sobre todos los enteros, no tiene ninguna consecuencia. [matemáticas] \ \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]
Probablemente deberíamos probar uno donde [math] \ ln r \ ne 0 [/ math]. ¿Qué tal [matemáticas] 2 ^ 3 [/ matemáticas]? [matemáticas] r = 2, \ theta = 0, c = 3, d = 0. [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 3 = e ^ {3 \ ln 2} = 2 ^ 3 [/ matemáticas]
Eso no parece que nos esté diciendo mucho, pero lo es. La fórmula compleja se redujo a la fórmula real correcta cuando los números eran reales. [matemáticas] \ \ marca de verificación [/ matemáticas]
¿Esto nos dice algo sobre [matemáticas] 0 ^ {c + di}? [/ Matemáticas] Bueno, no puedes tomar las [matemáticas] \ ln 0 [/ matemáticas], pero puedes esquivarlas. Equilibremos formalmente [matemática] e ^ {\ ln 0} = 0 [/ matemática] y [matemática] 0 \ ln 0 = 0 [/ matemática]. Dejaremos cualquier otra apariencia de [math] \ ln 0 [/ math] sin definir. [math] \ theta [/ math] ya no tiene un valor particular, pero puede variar de decir [math] – \ pi [/ math] a [math] \ pi [/ math], o incluso sobre todos los reales, obviando el necesidad de [matemáticas] k [/ matemáticas].
Mientras [math] c> 0 [/ math], obtenemos un factor [math] e ^ {\ ln 0} [/ math] que hace que todo sea cero. [math] c <0 [/ math] conduce a una división por cero, por lo que los dejamos sin definir. Cuando [math] c = 0 [/ math] y [math] d \ ne 0 [/ math] obtenemos un [math] d \ ln 0 [/ math] como el ángulo que tampoco parece definido.
Eso deja el favorito de todos [matemáticas] 0 ^ 0. [/ matemáticas] Vamos a escribirlo. Tenemos [matemática] r = 0, \ theta [/ matemática] se extiende sobre los reales, [matemática] c = 0, d = 0. [/ Matemática]
[matemáticas] 0 ^ 0 = e ^ {0 \ ln 0 – 0 \ theta – 2 \ pi k (0)} \ textrm {cis} (0 \ ln 0 + 0 \ theta + 2 \ pi k (0)) [/matemáticas]
Si otorgamos [math] 0 \ ln 0 = 0 [/ math] como lo hemos estado, esto se simplifica muy bien:
[matemáticas] 0 ^ 0 = e ^ {0} \ textrm {cis} (0) = 1 \ cdot 1 = 1 [/ matemáticas]
