Además de la respuesta de David Joyce, me gustaría decir que los postulados solo son incorrectos cuando se juntan, crean un sistema (o clase de objetos) que es paradójico. Para ser claros, los postulados no están equivocados, el sistema sí. Aun así, en algunos sistemas lógicos, tampoco están equivocados, solo son paradójicos. Sin embargo, incluso si el sistema es paradójico, como dijo David Joyce, no están equivocados, solo ese postulado ‘a’ y ‘b’ no deberían ir juntos. Incluso entonces, todavía se pueden encontrar algunos resultados inequívocos con la combinación de esos postulados.
Han surgido muchas matemáticas al suponer que uno o más postulados son falsos, o incluso diferentes, creando así nuevos tipos de objetos, como las geometrías hiperbólicas y esféricas.
Veo a nuevos matemáticos hablar sobre axiomas y postulados todo el tiempo, y como ingeniero de software, tengo una opinión ligeramente diferente sobre ellos. En programación, creamos interfaces y objetos. Las interfaces son “contratos” que cada objeto DEBE cumplir también. Si creo una interfaz INoiseMaker, y requiero que tenga una acción “Hablar”, puedo crear objetos Cat y Dog que maullen y ladren respectivamente. Como estoy creando este contrato, no puedo decir que la interfaz INoiseMaker está mal. Si tengo algo que no habla, tengo un objeto diferente que no es un INoiseMaker.
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Como matemático, requerimos que los objetos con los que trabajamos tengan esos postulados: cosas que existen mucho o deben ser ciertas en todas las situaciones (invariantes / identidades). Si nos encontramos con un objeto que no, entonces nos encontramos con un objeto diferente, eso es todo. Si el objeto que creamos no tiene usos en el mundo real, entonces no tiene usos en el mundo real (todavía tengo que ver esto en la práctica, porque naturalmente los humanos gravitan hacia objetos para los que ya tenemos una intuición).