Esto no es música clásica … bueno, pero de todos modos déjenme aclarar que solo tengo una comprensión rudimentaria de Langlands y una mejor comprensión de la teoría de la homotopía y mis fuentes provienen de hablar con amigos.
Entonces, bien, el programa geométrico de Langlands formulado por Gaitsgory está configurando una equivalencia entre dos dispositivos: módulos D en la pila de módulos de paquetes G en una curva y poleas coherentes en sistemas locales en el grupo dual Langlands. Si esas palabras no significan nada para usted, piense que quiere decir que A = B. Sin embargo, permítame decir algo al respecto para tener una idea de lo que realmente está haciendo.
Entonces, dada una curva X, podemos observar el “espacio” de todos los paquetes G en esa curva. Esto no es demasiado difícil, al menos, imaginar: solo está recopilando todas las formas posibles de adjuntar cosas en la parte superior de su curva con algún tipo de acción G. Ahora los módulos D son más difíciles de definir, especialmente los módulos D en un “espacio” tan enorme. Sin embargo, hay algo más fácil: gavillas casi coherentes. Para un esquema (se puede pensar en variedad) X se puede pensar que estos tipos son solo la versión algebro-geométrica de “paquetes de vectores” (bueno, en realidad no, es más retorcido y no es localmente libre, ¡pero al menos los paquetes de vectores son ejemplos!), pero ahora esto llamado sistemas locales es mucho más difícil de definir también. Entonces, el programa geométrico de Langlands puede expresarse en términos peatonales como:
- La esfera gris representa un material dieléctrico. ¿Qué figura a continuación es correcta?
- ¿Cuál es el significado de los campos vector / tensor Killing?
- ¿Qué pasa si la gravedad es simplemente la suma de todos los fenómenos de ondas interactivas en el espacio-tiempo que resulta en un movimiento neto que converge a la fuente mayoritaria, es decir? cuerpos masivos? ¿Podría ser?
- ¿Existe una explicación intuitiva, o una imagen físicamente significativa, del Teorema del residuo de Cauchy?
- ¿Es el tiempo infinitamente divisible?
Algo difícil en algo fácil es equivalente a algo fácil en algo difícil. ¡Increíble!
Excepto que no realmente: hay ejemplos en los que dicha afirmación es descaradamente falsa, pero para que esto sea cierto, se necesitan versiones “derivadas” de todas las cosas que flotan y aquí es donde entra la teoría de la homotopía.
La teoría de la homotopía muy ampliamente interpretada es un conjunto sistemático de herramientas que uno puede hacer álgebra homológica no abeliana. Esto significa que uno puede tomar functores derivados y realizar construcciones como “coning off” de una manera razonable. Por lo tanto, la declaración A = B propuesta anterior no es cierta en el caso ingenuo, pero uno debería tomar la versión “homotópica” de la declaración anterior para incluso tener la oportunidad de probar la declaración anterior.
De acuerdo, tal vez aquí hay ilustraciones concretas de la filosofía anterior:
1) Para definir módulos D en esta pila de módulos, primero los define en afines y luego dice que “se pegan” para obtener módulos D en toda la pila de módulos. Decir “pegan” puede ser realmente difícil y técnico porque “pegan” significa que satisfacen algún tipo de condición de coherencia que es difícil de escribir. ¡La tecnología de la teoría de la homotopía es precisamente una forma en la que se pueden precisar estas condiciones de coherencia de manera manejable (se puede ver el documento de Gaitsgory-Francis sobre la “dualidad Chiral Koszul” para ver exactamente cómo funciona esto)!
2) Para que la afirmación anterior sea verdadera, uno tiene que sustituir la apariencia de los anillos con anillos derivados, que es análogo a “reemplazar un módulo por un complejo o proyectivos que compute Ext”. Estos anillos derivados son objetos homotópicos (admite nociones de homotopía y homotopías superiores, tienen una noción de grupos de homotopía, se comportan bien bajo ciertas construcciones como “coning off”, etc.)
Espero que haya sido útil … tal vez
