Un espacio euclidiano es un tipo de espacio de Hilbert de dimensión finita.
Ahora para explicar cuáles son esos
Un espacio vectorial es aquel en el que tiene objetos llamados escalares (que son solo números) y otros objetos llamados vectores que siguen las siguientes reglas.
- Los escalares tienen todas las propiedades de un campo (los números reales hacen esto)
- Puede escalar los vectores multiplicándolos por un escalar
- [matemáticas] \ alpha v \ en V \ \ forall \ alpha \ en F, v \ en V [/ matemáticas]
Puede agregar vectores juntos, junto con todas las buenas propiedades de adición, como asociatividad, conmutatividad, la existencia de un vector cero e inversos aditivos (negativos), y así sucesivamente.
- [matemáticas] u + (v + w) = (u + v) + w [/ matemáticas]
- [matemáticas] u + v = v + u [/ matemáticas]
- [matemática] \ existe 0 \ en V, 0 + v = v [/ matemática]
- [matemática] \ existe v \ \ forall u \ [/ matemática] st [matemática] \ v + u = 0 [/ matemática]
Queremos otra propiedad antes de llegar a los espacios euclidianos o de Hilbert. Esta es la idea de un producto interno (o producto de punto, o producto escalar), que tiene la información para encontrar distancias y ángulos entre las cosas. Pero antes de llegar a eso.
Una métrica es una función que le brinda la distancia entre dos objetos, con las siguientes propiedades
- La distancia entre dos objetos es siempre positiva o cero. Y solo es cero si los dos objetos son iguales.
- [matemática] d (x, y) \ ge 0 \ \ forall x, y \ en V [/ matemática]
- [matemáticas] d (x, y) = 0 \ Flecha derecha x = y [/ matemáticas]
La distancia entre dos cosas no depende del orden.
- [matemática] d (x, y) = d (y, x) \ \ para toda x, y \ en V [/ matemática]
La distancia a lo largo del viaje desde el primer objeto al segundo directamente es siempre menor que tomar desvíos. Esto se conoce como la desigualdad del triángulo.
- [matemáticas] d (x, y) \ le d (x, z) + d (z, y) \ \ para todos x, y, z \ en V [/ matemáticas]
Un espacio que tiene una métrica se llama espacio métrico.
Una norma es el tamaño de un objeto. Se describe a continuación.
- Una norma nunca es negativa, y el único objeto con norma cero es el vector cero
- [matemáticas] \ | v \ | \ ge 0 \ \ forall v \ en V, \ | v \ | = 0 \ Rightarrow v = 0 [/ matemática]
- Puedes factorizar el valor absoluto de una norma
- [matemáticas] \ | \ alpha v \ | = | \ alpha | \ | v \ | [/ matemáticas]
La desigualdad del triángulo tiene
- [matemáticas] \ | xy \ | \ le \ | xz \ | + \ | zy \ | \ \ forall x, y, z \ en V [/ math]
Un espacio normado es aquel que tiene una norma. Un espacio normado también es un espacio métrico ya que el métrico
[math] d (x, y) = \ | xy \ | [/ math] satisface todas las reglas de un espacio métrico. Pero un espacio normado tiene aún más estructura. También tenga en cuenta que la norma de un objeto puede considerarse como su distancia desde cero.
Un producto interno es una relación entre dos objetos que tiene las siguientes propiedades
- [matemáticas] (x, y) = \ bar {(y, x)} [/ matemáticas]
Es lineal con respecto al primer argumento.
[matemáticas] (\ alpha x, y) = \ alpha (x, y) [/ matemáticas]
Es positivo definitivo
- [matemática] (x, x) \ ge 0 [/ matemática] [matemática] \ \ para toda x, y \ en V [/ matemática]
- [matemáticas] (x, x) = 0 \ Flecha derecha x = 0 [/ matemáticas]
Los espacios de productos internos también son espacios normados (y, por lo tanto, también espacios métricos)
- [matemáticas] (x, x) = \ | x \ | ^ 2 \ Rightarrow \ | x \ | = \ sqrt {(x, x)} [/ math]
También tiene la buena propiedad de tener una noción del ángulo entre dos objetos.
- [matemáticas] (x, y) = \ | x \ | \ | y \ | cos (\ theta) [/ math]
Otra cosa a tener en cuenta. Dos objetos son ortogonales si su producto interno es cero, es decir, el ángulo entre ellos es de 90 grados. Una colección de objetos que son ortogonales entre sí y que puede usar para construir cualquier cosa en su espacio se denomina base ortogonal. Si cada una de las cosas en su base también es de longitud uno, entonces se llama base ortonormal.
Queremos una propiedad más. Este es un poco más difícil de imaginar, se llama integridad. Básicamente, un espacio completo es aquel que no tiene agujeros. Si tiene una secuencia de puntos acercándose a algo, debe esperar que también esté en su espacio.
Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno completo, y un espacio euclídeo es un espacio de Hilbert de dimensión finita con un sistema de coordenadas estándar.
Es decir, en un espacio de Hilbert (que incluye espacios euclidianos), podemos escalar, sumar, restar, medir distancia, medir longitud y tomar límites.
Ahora para algunos ejemplos de espacios de Hilbert
- Los objetos están representados por vectores con n componentes, cada uno de los cuales se denominan coordenadas de la posición.
- El producto interno es el producto escalar. La suma de todos los componentes multiplicados juntos.
- Los vectores unitarios forman una base ortonormal.
- La métrica es solo la fórmula de distancia que proviene del teorema de Pitágoras.
Espacios de secuencia
- Las secuencias tienen un número infinito de componentes, pero no importa. Podemos hacer todo lo que queramos con ellos de todos modos.
- El espacio de secuencia más utilizado es el espacio [matemático] l ^ p [/ matemático]. Estas son las secuencias en las que si tomas la pth potencia de cada elemento y luego lo sumas todo, obtienes un valor finito. O en otras palabras, todas las secuencias con norma p finita.
Espacios funcionales
- Las funciones tienen un número infinito de ‘componentes’ al igual que las secuencias.
- Uno de los espacios de funciones más utilizados es el espacio [matemático] L ^ 2 [/ matemático]. Estas son las funciones que si toma el cuadrado del valor absoluto y lo integra, obtiene un valor finito. O, en otras palabras, todas las funciones con 2-norma finita.
- Otros espacios de funciones de Hilbert son aquellos que se construyen mediante una base ortonormal de funciones, como en el análisis de Fourier, donde se usan las funciones sin y cos para construir sus funciones. A veces, el análisis de Fourier se usa para la idea de que puede descomponer funciones en una suma de piezas ortonormales.
Espacios abstractos
- Sus objetos no necesitan ser vectores (en el sentido tradicional), secuencias o funciones. Pueden ser cualquier cosa siempre que cumplan con las propiedades anteriores.
