¿Existe alguna relación matemática entre las funciones de Kronecker Delta y Dirac Delta?

En cierto sentido, son más o menos lo mismo con diferentes nombres en diferentes contextos. Este es el por qué:

Sea X los números reales equipados con la medida habitual de Lebesgue [matemáticas] \ mu [/ matemáticas], o cualquier conjunto no vacío (digamos finito) equipado con la medida de conteo [matemáticas] \ mu [/ matemáticas]. Deje que [math] C ^ \ infty_c (X) [/ math] denota el espacio de funciones infinitamente diferenciables en los reales, en el primer caso, y el espacio de todas las funciones, en el segundo caso. En cualquier caso, llamaremos a esto el espacio de las funciones de prueba. Entonces, la función delta de Dirac es la función lineal en [matemática] C ^ \ infty_c (X) [/ matemática], en el primer caso, que toma una función de prueba [matemática] \ phi [/ matemática] y la asigna a [ matemáticas] \ phi (0) [/ matemáticas]. En términos más generales, para un número real dado [matemáticas] x_0 [/ matemáticas], uno tiene la función delta de Dirac [matemáticas] \ delta (x-x_0) [/ matemáticas] que asigna [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] a [ matemáticas] \ phi (x_0) [/ matemáticas]. La notación utilizada para esto es típicamente escribir que

[matemáticas] \ int_ \ mathbf {R} \ phi (x) \ delta (x-x_0) d \ mu (x) = \ phi (x_0) [/ math].

En el segundo caso, podemos arreglar de manera similar un elemento [math] x_0 \ en X [/ math], y definir una función lineal que envíe una función de prueba [math] \ phi [/ math] a [math] \ phi (x_0 )[/matemáticas]. Ahora, denotemos nuevamente esta función lineal por [math] \ delta (x-x_0) [/ math], para que nuevamente tengamos

[matemáticas] \ int_X \ phi (x) \ delta (x-x_0) d \ mu (x) = \ phi (x_0) [/ matemáticas].

Ahora, aquí, la noción de integración no es integración, sino más bien una simple suma antigua, es decir

[matemáticas] \ int_X \ phi (x) \ delta (x-x_0) d \ mu (x) = \ sum_ {x \ in X} \ phi (x) \ delta (x-x_0) [/ math].

Así es como funciona la integración con respecto a la medida de conteo. Ahora, considere el delta de Kronecker [math] \ delta_ {x, x_0} [/ math], que podemos considerar como una función de [math] x [/ math]. Luego,

[matemáticas] \ sum_ {x \ en X} \ phi (x) \ delta_ {x, x_0} = \ phi (x_0) [/ matemáticas].

En otras palabras, la integración contra Kronecker delta [math] \ delta_ {x, x_0} [/ math] es la misma función lineal que [math] \ delta (x-x_0) [/ math]. Este último se definió exactamente como la función delta de Dirac; Realmente es la función delta de Dirac en este contexto. Entonces, el delta de Kronecker es una notación ligeramente diferente de lo que realmente es solo un caso especial del delta de Dirac.