Demuestre que [math] (bc) [/ math] es un factor de [math] a ^ 3 (bc) + b ^ 3 (ca) + c ^ 3 (ab) [/ math] y anote otros dos factores de la expresion. ¿Por lo tanto factorizar la expresión por completo?

let [matemáticas] f (a, b, c) = a ^ 3 (bc) + b ^ 3 (ca) + c ^ 3 (ab) [/ matemáticas]

Observe que esta función es antisimétrica a cambio de cualquiera de sus dos variables.

[matemáticas] f (a, b, c) = -f (b, a, c) = -f (a, c, b) = -f (c, b, a) [/ matemáticas]

Esto y el hecho de que es un polinomio homogéneo de cuarto grado es casi todo lo que necesita saber para factorizarlo. Pon cualquiera de las dos variables iguales y la antisimetría da por ejemplo

[matemáticas] f (a, a, c) = -f (a, a, c) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] f (a, a, c) = 0 [/ matemática]

Pero por el teorema de factorización para polinomios esto significa que [math] ab [/ math] debe ser un factor. De manera similar, [math] bc [/ math] y [math] ca [/ math] son ​​factores. Por lo tanto

[matemáticas] f (a, b, c) = g (a, b, c) (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas]

Dado que [matemática] f (a, b, c) [/ matemática] es grado 4, [matemática] g (a, b, c) [/ matemática] debe ser lineal y homogénea. Además, debido a que [matemática] f (a, b, c) [/ matemática] es antisimétrica y [matemática] (ab) (bc) (ca) [/ matemática] también es antisimétrica, sabemos que [matemática] g ( a, b, c) [/ math] debe ser simétrico en sus tres argumentos. Los polinomios lineales homogéneos simétricos son todos de la forma [matemática] C (a + b + c) [/ matemática] para alguna constante [matemática] C [/ matemática]

[matemáticas] f (a, b, c) = C (a + b + c) (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas]

El valor de [math] C [/ math] es lo único que no podemos determinar a partir de la antisimetría y el grado del polinomio. Para determinar qué es, es suficiente poner tres números desiguales que no sumen cero para [matemática] a, b, [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática]. Por ejemplo, [matemática] a = 0, b = 1, c = 2 [/ matemática] Luego calcule

[matemáticas] f (0,1,2) = 0 + 1 + (- 8) = -6 [/ matemáticas]

[matemáticas] C (a + b + c) (ab) (bc) (ca) = C.3. (- 1). (- 1) .2 = 6C [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] C = -1 [/ matemáticas] y

[matemáticas] f (a, b, c) = – (a + b + c) (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas]

Por supuesto, puede verificar esto expandiéndolo todo y simplificándolo, pero no es necesario. Ya hemos demostrado que debe ser correcto sin largas manipulaciones algebraicas.

Sea [math] f (a, b, c) = a ^ 3 (bc) + b ^ 3 (ca) + c ^ 3 (ab) [/ math]. Según el teorema del factor (considerando [matemática] f [/ matemática] como un polinomio en [matemática] b [/ matemática]), [matemática] (bc) [/ matemática] es un factor si y solo si [matemática] f ( a, c, c) = 0 [/ matemáticas].

Verificar este criterio es simple:

[matemáticas] f (a, c, c) = a ^ 3 (cc) + c ^ 3 (ca) + c ^ 3 (ac) = 0 + c ^ 3 (ca) -c ^ 3 (ca) = 0 [/matemáticas]

Por lo tanto, [math] (bc) [/ math] es un factor.

A continuación, observamos que [matemáticas] f (a, b, c) = f (b, c, a) = f (c, b, a) = f (c, a, b) = f (b, a, c) = f (a, c, b) [/ matemáticas],

y esta simetría implica que [math] (ab) [/ math] y [math] (ac) [/ math] también son factores.

① Tome la expresión dada como una función de VARIABLE “b”, es decir, como f (b), y sustituya la variable b con la constante c, tratando “a” como una constante también.

f (c)

= a³ (cc) + (c) ³ (ca) + c³ (ac)

= 0

Luego, por el TEOREMA DEL FACTOR,

Como la expresión dada es SIMETRICA y CICLICA en a, b, c, los otros dos factores son (cb) (ca).

③Para completar la simetría, el otro factor tiene que ser (a + b + c)

[matemáticas] \ begin {array} {lll} a ^ 3 (b – c) + b ^ 3 (ca) + c ^ 3 (ab) & = & a ^ 3 (bc) + b ^ 3 \ cdot c – c ^ 3 \ cdot b – b ^ 3 \ cdot a + c ^ 3 \ cdot a \\ & = & a ^ 3 (bc) + bc (b ^ 2-c ^ 2) – a (b ^ 3-c ^ 3) \\ & = & a ^ 3 (bc) + bc (b + c) (bc) – a (b ^ 2 + bc + c ^ 2) (bc) \\ & = & \ left (a ^ 3 + bc (b + c) – a (b ^ 2 + bc + c ^ 2) \ right) (bc) \ end {array} [/ math].

Hecho.

[matemáticas] a ^ 3 (bc) + b ^ 3 (ca) + c ^ 3 (ab) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 3 (bc) -b ^ 3 (b-c + ab) -c ^ 3 (b-c + ca) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 3 (bc) -b ^ 3 (bc) -b ^ 3 (ab) -c ^ 3 (bc) -c ^ 3 (ca) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 3 (bc) -b ^ 3 (bc) + b ^ 3 (b-c + ca) -c ^ 3 (bc) -c ^ 3 (ca) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 3 (bc) -b ^ 3 (bc) + b ^ 3 (bc) + b ^ 3 (ca) -c ^ 3 (bc) -c ^ 3 (ca) [/ math]

[matemáticas] = (bc) (a ^ 3-c ^ 3) + (ca) (b ^ 3-c ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (bc) (a ^ 3-c ^ 3) – (ac) (b ^ 3-c ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (bc) (ac) (a ^ 2 + ac + c ^ 2) – (ac) (bc) (b ^ 2 + bc + c ^ 2) [/ math]

[matemáticas] = (bc) (ac) (a ^ 2 + ac + c ^ 2-b ^ 2-bc-c ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (bc) (ac) (a ^ 2 + ac-b ^ 2-bc) [/ math]

[matemáticas] = (bc) (ac) [(a + b) (ab) + c (ab)] [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {(bc) (ac) (ab) (a + b + c)} [/ math]

Gracias por la A2A

[matemáticas] a ^ 3 (bc) + b ^ 3 (ca) + c ^ 3 (ab) = 0 [/ matemáticas] si reordenamos

[matemáticas] (bc) a ^ 3 + bc (b ^ 2-c ^ 2) -a (b ^ 3-c ^ 3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (bc) a ^ 3 + bc (b + c) (bc) -a (b ^ 2 + bc + c ^ 2) (bc) = 0 [/ matemáticas]

ahora dado que [math] bc [/ math] es un factor en todos los elementos de la expresión, es una raíz de la expresión.

eliminémoslo de la expresión para encontrar los otros factores:

[matemáticas] a ^ 3 + bc (b + c) -a (b ^ 2 + bc + c ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 2c + bc ^ 2-ab ^ 2-abc-ac ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a (a ^ 2-b ^ 2) -c ^ 2 (ab) -bc (ab) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a (ab) (a + b) -c ^ 2 (ab) -bc (ab) = 0 [/ matemáticas]

nuevamente [math] ab [/ math] es el factor común en todos los elementos, por lo que es una raíz de expresión.

quitándolo de la expresión continuamos:

[matemáticas] a ^ 2 + ab-c ^ 2-bc = 0 [/ matemáticas]

reorganización: [matemática] (a ^ 2-c ^ 2) + b (ac) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (a + c) (ac) + (ac) b = 0 [/ matemáticas]

ahora [math] ac [/ math] es un factor común, por lo que es una raíz y [math] a + b + c [/ math] es un factor común y una raíz.

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