let [matemáticas] f (a, b, c) = a ^ 3 (bc) + b ^ 3 (ca) + c ^ 3 (ab) [/ matemáticas]
Observe que esta función es antisimétrica a cambio de cualquiera de sus dos variables.
[matemáticas] f (a, b, c) = -f (b, a, c) = -f (a, c, b) = -f (c, b, a) [/ matemáticas]
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Esto y el hecho de que es un polinomio homogéneo de cuarto grado es casi todo lo que necesita saber para factorizarlo. Pon cualquiera de las dos variables iguales y la antisimetría da por ejemplo
[matemáticas] f (a, a, c) = -f (a, a, c) [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] f (a, a, c) = 0 [/ matemática]
Pero por el teorema de factorización para polinomios esto significa que [math] ab [/ math] debe ser un factor. De manera similar, [math] bc [/ math] y [math] ca [/ math] son factores. Por lo tanto
[matemáticas] f (a, b, c) = g (a, b, c) (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas]
Dado que [matemática] f (a, b, c) [/ matemática] es grado 4, [matemática] g (a, b, c) [/ matemática] debe ser lineal y homogénea. Además, debido a que [matemática] f (a, b, c) [/ matemática] es antisimétrica y [matemática] (ab) (bc) (ca) [/ matemática] también es antisimétrica, sabemos que [matemática] g ( a, b, c) [/ math] debe ser simétrico en sus tres argumentos. Los polinomios lineales homogéneos simétricos son todos de la forma [matemática] C (a + b + c) [/ matemática] para alguna constante [matemática] C [/ matemática]
[matemáticas] f (a, b, c) = C (a + b + c) (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas]
El valor de [math] C [/ math] es lo único que no podemos determinar a partir de la antisimetría y el grado del polinomio. Para determinar qué es, es suficiente poner tres números desiguales que no sumen cero para [matemática] a, b, [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática]. Por ejemplo, [matemática] a = 0, b = 1, c = 2 [/ matemática] Luego calcule
[matemáticas] f (0,1,2) = 0 + 1 + (- 8) = -6 [/ matemáticas]
[matemáticas] C (a + b + c) (ab) (bc) (ca) = C.3. (- 1). (- 1) .2 = 6C [/ matemáticas]
entonces [matemáticas] C = -1 [/ matemáticas] y
[matemáticas] f (a, b, c) = – (a + b + c) (ab) (bc) (ca) [/ matemáticas]
Por supuesto, puede verificar esto expandiéndolo todo y simplificándolo, pero no es necesario. Ya hemos demostrado que debe ser correcto sin largas manipulaciones algebraicas.