Una representación lineal de un grupo [matemática] G [/ matemática] en un espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] se llama irreducible si no existe un espacio vectorial no trivial [matemática] W [/ matemática] de [ matemática] V [/ matemática] de modo que [matemática] W [/ matemática] se estabilice mediante [matemática] G [/ matemática].
Para muchos grupos interesantes (grupo finito, grupos semisimple como grupos lineales generales, ortogonales, etc.) podemos descomponer cualquier representación como una suma directa de representaciones irreducibles. Este es un tipo de diagonalización que, por supuesto, es muy útil para muchas representaciones prácticas. En mecánica cuántica, esto es útil en algún contexto cuando el hamiltoniano tiene algunas simetrías. Las simetrías se pueden usar para descomponer el espacio [matemático] L ^ 2 [/ matemático] correspondiente. Tenga en cuenta que no todos los grupos admiten tal descomposición.
Es mejor buscar una explicación simplemente buscando en Google el tema. De lo contrario, me gustan las representaciones lineales de grupos finitos (textos de posgrado en matemáticas) (v. 42): Jean-Pierre Serre, Leonhard L. Scott: 9780387901909: Amazon.com: Libros para el caso de grupos finitos. La siguiente Teoría de la representación: Un primer curso (Textos de posgrado en Matemáticas / Lecturas en Matemáticas): William Fulton, Joe Harris: 9780387974958: Amazon.com: Los libros son probablemente buenos para el caso grupal continuo que es más relevante para la mecánica cuántica. Los libros de texto de mecánica cuántica deben contener alguna descripción de la teoría de la representación, aunque nunca debe olvidar que la teoría de la representación solo es útil para casos simples y que muchos sistemas no tienen simetría en absoluto.
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