El Operador Del es una forma de encontrar la derivada de un vector. Es posible que esté familiarizado con la búsqueda de la derivada para funciones escalares, que puede representarse por algo de la forma
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f ‘(x) [/ matemáticas]
donde [math] f (x) [/ math] es una función de [math] x [/ math], [math] f ‘(x) [/ math] es su derivada y [math] \ frac {d} {dx} [/ math] es el término que nos dice que tomemos la derivada en primer lugar. Puede pensar en [math] \ frac {d} {dx} [/ math] como el ‘operador derivado’, porque le dice que tome una derivada de lo que está al lado.
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Ahora, queremos hacer esto también para los vectores, siendo a menudo los representados en coordenadas cartesianas (funciones de [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas]) . ¿Por qué? Debido a que muchos fenómenos físicos (como los campos eléctricos o gravitacionales) pueden describirse como vectores, y los cambios de estos fenómenos (y, por lo tanto, los derivados) son importantes.
Entonces, ¿cómo tomamos la derivada de un vector? Usamos el operador Del. Como queremos usarlo con vectores, tendrá que ser un vector en sí mismo. Y dado que queremos usarlo para las tres coordenadas cartesianas y no solo [math] x [/ math], tendrá más letras. En última instancia, el operador Del se ve muy similar a nuestro “operador derivado” anterior, pero con algunos términos más:
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac { \ partial} {\ partial z} [/ math]
El [math] \ nabla [/ math] es lo que llamamos el Operador Del, aunque el símbolo es oficialmente un ‘nabla’; ¡Honestamente me enseñaron que se llamaba un delta invertido! Además de solo una derivada con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas], ahora también tomamos derivadas parciales con respecto a [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas]. Cuando tomamos una derivada parcial, solo tratamos todas las variables excepto una como constantes, y tomamos la derivada con respecto a nuestra variable elegida.
Ahora, dado que hay dos formas de multiplicar vectores, naturalmente obtenemos dos formas de tomar una derivada vectorial. Las dos formas de multiplicar vectores están usando el ‘producto punto’ y el ‘producto cruzado’; El resultado de cada multiplicación es un valor escalar y un valor vectorial, respectivamente.
Un ejemplo que usa el producto punto es calcular la divergencia del campo eléctrico:
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} _v [/ math]
Aquí, tomamos una derivada usando el producto punto, y nos quedamos con el valor escalar [math] {\ rho} _v [/ math], que es la densidad de carga de volumen en una región.
Un ejemplo que usa el producto cruzado es al calcular la curvatura del campo eléctrico:
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt} [/ math]
Aquí, tomamos una derivada usando el producto cruzado, y nos quedamos con el valor vectorial [math] \ mathbf {B} [/ math] (más específicamente, su derivada del tiempo).
Sin embargo, el Operador Del también es útil fuera de los vectores. Si tratamos al Operador Del como solo una suma de tres cosas diferentes, podemos multiplicarlo por alguna función escalar y esa función se distribuye por todo:
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ parcial f (x, y, z)} {\ parcial y} + {\ sombrero z} \ frac {\ parcial f (x, y, z)} {\ parcial z} [/ matemática]
¡En este caso, hemos convertido un escalar en un vector! Esto se conoce como tomar el ‘gradiente’ de la función escalar. Lo que hace es decirle en qué dirección está cambiando la función más rápidamente. Esto a menudo se usa para campos potenciales, que toman la forma:
[matemáticas] \ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U} [/ math]
donde [math] \ mathbf {U} [/ math] es una energía potencial (como un resorte o gravedad) y [math] F [/ math] es la fuerza que resulta de ser colocado en ese campo. Sigue siendo una derivada vectorial, que es lo que describimos como el Operador Del anterior, es solo que es la derivada vectorial de un escalar en lugar de la derivada vectorial de un vector. Sí, ¡esos también existen!
Y continúa. Es posible que haya visto el término [matemáticas] {\ nabla} ^ 2 [/ matemáticas]; Esto se conoce como Laplaciano, y se ve en cosas como la ecuación de onda. Esencialmente, solo usa el Operador Del dos veces seguidas. Puede expandirse a otros sistemas de coordenadas con más variables, o reducirse a dos o una dimensiones. ¡Es un concepto muy importante y se utiliza en casi todas las ramas de la física!
