Supongo que la palabra clave es la dualidad de Verdier que es puramente el resultado de la teoría de la gavilla.
Sea [math] X [/ math] un complejo compacto [math] n [/ math] – múltiple dimensional.
Entonces calcular cohomología equivale a calcular una resolución inyectiva de la gavilla constante [matemáticas] \ subrayado {\ mathbf {C}} _ {X} [/ matemáticas] en [matemáticas] X [/ matemáticas]:
- ¿Cuál es la forma de factorizar polinomios de tercer grado?
- Escuché que la regla de L'Hospital no fue hecha por L'Hospital o alguien relacionado con eso. ¿Cómo?
- ¿Dónde se han colocado los estudiantes de ciencias puras de BITS (todas las ramas) en el pasado?
- ¿Cuál es el recíproco de 4?
- ¿Cuál es la suma de esta serie igual a: [matemáticas] \ frac {{1} ^ {3}} {1! } + \ frac {{2} ^ {3}} {2! } + \ frac {3 ^ {3}} {3! } + \ frac {{4} ^ {3}} {4! } +… = \ Quad? [/ Matemáticas]
[matemáticas] \ subrayado {\ mathbf {C}} _ {X} \ to I ^ {\ bullet} = I ^ {0} _ {X} \ to I ^ {1} _ {X} \ to I ^ { 2} _ {X} \ to \ ldots [/ math].
Ahora uno puede considerar [math] \ underline {\ mathbf {C}} _ {X} [/ math] junto con sus turnos [math] \ underline {\ mathbf {C}} _ {X} [i] [/ math ] (es decir, complejos concentrados solo en [matemática] i [/ matemática] -th grado) como objetos en la categoría derivada [matemática] D ^ {b} (X) [/ matemática] de gavillas de grupos abelianos en [matemática] X [/matemáticas].
Además, podemos elegir un mapa de evaluación (un mapa constante) [math] f: X \ to \ mathbf {C} [/ math].
Luego, la dualidad de Verdier establece que el retroceso apropiado [matemático] f ^ {!}: D ^ {b} (\ mathbf {C}) \ a D ^ {b} (X) [/ matemático] es un adjunto correcto a el functor de imagen directa derivada con el soporte adecuado [matemáticas] Rf_ {!}: D ^ {b} (X) \ a D ^ {b} (\ mathbf {C}) [/ matemáticas].
Aplicarlo a las poleas constantes [math] \ underline {\ mathbf {C}} _ {X} [i] [/ math] en [math] X [/ math] y [math] \ mathbf {C} [/ math ] obtenemos el siguiente isomorfismo:
[math] \ mathrm {Hom} (Rf _ {!} (\ underline {\ mathbf {C} _ {X}} [i]), \ mathbf {C}) \ cong [/ math] [math] \ mathrm { Hom} (\ underline {\ mathbf {C} _ {X}} [i], f ^ {!} (\ Mathbf {C})). [/ Math]
El hecho de que [math] X [/ math] sea suave y compacto de dimensión [math] n [/ math] implica para el RHS que
[math] \ mathrm {Hom} (\ underline {\ mathbf {C} _ {X}} [i], f ^ {!} (\ mathbf {C})) = \ mathrm {Hom} (\ underline {\ mathbf {C} _ {X}} [i], \ underline {\ mathbf {C} _ {X}} [n]) = [/ math] [math] \ mathrm {Hom} (\ underline {\ mathbf { C} _ {X}}, \ subrayado {\ mathbf {C} _ {X}} [ni]) [/ math].
El último conjunto de morfismos en la categoría derivada se puede expresar como [matemática] (ni) [/ matemática] cohomología del complejo de la cadena [matemática] \ matemática {Hom} ^ {\ bullet} (\ underline {\ mathbf {C } _ {X}}, \ underline {\ mathbf {C} _ {X}}) [/ math] que no es más que [math] H ^ {ni} (X, \ mathbf {C}) [/ math ]
Del mismo modo, uno puede explicar el LHS de la dualidad de Verdier utilizando la definición del functor derivado:
[matemáticas] Rf _ {!} (\ subrayado {\ mathbf {C} _ {X}} [i]) = f _ {!} (I ^ {\ bullet}) [i] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ Gamma_ {c} (I ^ {\ bullet} [i]) [/ math].
Al igual que en el caso anterior, se puede describir el conjunto de morfismos derivados como la [matemática] i [/ matemática] -th cohomología del complejo de la cadena [matemática] \ matemática {Hom} (\ Gamma_ {c} (I ^ {\ bullet } [i]), \ mathbf {C}) [/ math] que es dual como un espacio vectorial para la cohomología [math] i [/ math] -th de [math] \ Gamma_ {c} (X, I ^ {\ bullet}) [/ math] que a su vez es igual a [math] H_ {c} ^ {i} (X, \ mathbf {C}) [/ math].
Esto le da a la versión clásica de la dualidad de Poincaré:
[matemáticas] H_ {c} ^ {i} (X, \ mathbf {C}) ^ {\ vee} \ cong H ^ {ni} (X, \ mathbf {C}) [/ matemáticas]
Además de los cálculos formales estándar con complejos de gavillas como objetos en la categoría derivada, la única información geométrica importante utilizada en este boceto de la prueba es [math] f ^ {!} (\ Mathbf {C}) \ cong \ underline { \ mathbf {C} _ {X}} [n] [/ math].
