Deje que la función sea [matemáticas] f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemáticas]
En primer lugar, debe calcular las raíces de la ecuación, es decir, los puntos donde la curva cortará el eje x. Si no es posible determinar las raíces exactamente, puede usar el siguiente método.
Si para un número entero A f (A) yf (A + 1) son de signos opuestos, entonces debe haber una raíz entre A y A + 1.
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Ahora necesita calcular la derivada de f (x) para verificar el máximo o mínimo. Obtendrá un cuadrático en términos de x. Encuentra sus raíces. Si ambas raíces son imaginarias, entonces no hay puntos de máximo o mínimo. Si obtienes una raíz real, entonces ve por el cálculo de derivadas de segundo orden
Supongamos que las raíces de la cuadrática son a1 y a2.
La derivada de segundo orden f ” (x) será una función lineal
Si f ” (a1) o f ” (a2) es mayor o menor que 0, entonces tendrá un máximo o un mínimo respectivamente en esos puntos. Por otro lado, si la derivada doble es 0 para a1 o a2, entonces son los puntos de inflexión.
Comprueba dónde la derivada doble es positiva. La curva será cóncava en ese intervalo. Donde la derivada doble es negativa, la curva será cóncava hacia abajo.
Por ejemplo, grafiquemos la gráfica de [matemáticas] f (x) = x ^ 3-x ^ 2-x-2 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que f (2) = 0, por lo tanto, hay una raíz en x = 2.
Factorizando el polinomio obtenemos [matemáticas] f (x) = (x-2) (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que la cuadrática producirá raíces imaginarias. Entonces el polinomio tiene solo 1 raíz real.
Derivada de primer orden: [matemáticas] f ‘(x) = 3x ^ 2-2x-1 [/ matemáticas]
Las raíces de esta ecuación son x = 1 y [matemáticas] x = -1 / 3 [/ matemáticas]
Derivada de segundo orden: [matemática] f ” (x) = 6x-2 [/ matemática]
Tenga en cuenta que [matemática] f ” (1)> 0 [/ matemática] y [matemática] f ” (- 1/3) <0 [/ matemática]
Entonces, hay un mínimo en x = 1 y un máximo en x = [matemáticas] -1/3 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [matemática] f ” (x)> 0 [/ matemática] para [matemática] x> 1/3 [/ matemática]
Entonces la curva será cóncava hacia arriba a la derecha de [matemáticas] 1/3 [/ matemáticas] y cóncava hacia abajo a su izquierda.
Entonces ahora podemos trazar un gráfico justo.
Espero que haya sido útil.
