No con equivalencia lógica (o material), pero podría hacerlo si estuviera dispuesto a utilizar la implicación material (es decir, declaraciones condicionales) en su lugar, o si recurriera a la lógica de predicados.
Considere la siguiente tabla de verdad:
[matemáticas] \ begin {array} {c | lcr} & \ textbf {A} & \ textbf {B} \\\ hline1 & \ text {T} & \ text {T} \\ 2 & \ text {T} & \ text {F} \\ 3 & \ text {F} & \ text {T} \\ 4 & \ text {F} & \ text {F} \ end {array} [/ math]
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Conjunción
[matemática] A \ land B [/ matemática] implica que el caso 1 es verdadero y 2–4 son falsos. [matemáticas] A [/ matemáticas] [matemáticas] \ equiv B [/ matemáticas] implica que los casos 1 y 4 son verdaderos y 2 y 3 son falsos. Entonces, si también afirmamos [math] A [/ math], excluimos el caso 4 y tenemos el mismo resultado. Pero si se nos permite usar un sistema de declaraciones, podríamos simplemente afirmar 1. [matemáticas] A [/ matemáticas]; 2. [matemáticas] B [/ matemáticas] y obtenga el mismo resultado. Y en ese punto, ‘usar un sistema de declaraciones’ es solo otra forma de ‘expresar la conjunción lógica’.
Además, hay muchas situaciones en las que podríamos querer afirmar [matemáticas] A [/ matemáticas] [matemáticas] \ tierra B [/ matemáticas] donde son coincidentes pero no equivalentes, por lo que lo que queremos decir con equivalente tendrá que ser limitado a las circunstancias muy particulares en las que se mantiene la declaración.
Esto es fácil de ver en un contexto informal. Suponga A: estoy vivo; B: El sol está caliente. Ciertamente, en este momento podría afirmar [matemáticas] A [/ matemáticas] [matemáticas] \ tierra B [/ matemáticas], pero afirmar que A y B son lógicamente equivalentes significaría convencionalmente que siempre tienen el mismo valor de verdad, y eso es No es algo que quisiera afirmar. Suponiendo que no hay posibilidad de que el sol se enfríe en mi vida, y suponiendo que la implicación esté permitida, podría afirmar [matemáticas] A [/ matemáticas] [matemáticas] \ Rightarrow (A \ equiv B) [/ matemáticas], y mientras el los valores de verdad se alinearán correctamente, realmente no se corresponde con mi razonamiento de manera coherente.
Sin embargo, hay una mejor manera de llegar a esto con implicación: [matemáticas] (A [/ matemáticas] [matemáticas] \ tierra B) \ equiv \ neg (A \ Rightarrow \ neg B) [/ matemáticas].
Si podemos pasar a la lógica de predicados, podríamos convertir [matemática] A \ tierra B [/ matemática] en [matemática] \ existe P (Q) [/ matemática], donde [matemática] P [/ matemática] se define como todo los casos en que [matemática] A [/ matemática] es verdadera y [matemática] Q [/ matemática] se define como todos los casos en que [matemática] B [/ matemática] es cierta.
Disyunción
Inclusivo:
[matemáticas] A \ lor B [/ matemáticas] implica que los casos 1, 2 y 3 son posibles, pero el caso 4 es falso. Podría reexpresarse como [math] \ neg (\ neg A) \ lor \ neg (\ neg B) [/ math]. Podemos usar las leyes de De Morgan para reafirmar esto como [math] \ neg (\ neg A \ land \ neg B) [/ math]. Así que ahora solo tenemos una conjunción, pero ya hemos visto que es difícil deshacerse de ella a menos que pueda usar un sistema de declaraciones. Pero incluso esa solución tiene que volverse más complicada aquí b / c, tenemos que aplicar un operador a un sistema de declaraciones en lugar de a una sola declaración: [math] \ neg ([/ math] 1. [math] \ neg A [ / matemáticas]; 2. [matemáticas] \ neg B) [/ matemáticas]. O podríamos hacer 1. [matemáticas] \ neg A \ Rightarrow B [/ matemáticas]; 2. [math] \ neg B \ Rightarrow A [/ math]. Eso podría reducirse solo a la primera declaración, ya que la segunda está implicada por modus tollens.
Nuevamente, si podemos pasar a la lógica de predicados, podríamos convertir [matemáticas] A \ lor B [/ matemáticas] en [matemáticas] \ nexistas \ neg P (\ neg Q) [/ matemáticas], donde [matemáticas] P [/ matemática] se define como todos los casos en que [matemática] A [/ matemática] es verdadera y [matemática] Q [/ matemática] se define como todos los casos en que [matemática] B [/ matemática] es verdadera.
Exclusivo:
[matemáticas] A \ oplus B [/ matemáticas] implica que los casos 2 y 3 son verdaderos, y los casos 1 y 4 son falsos. Esto puede parecer fácil al principio: [matemáticas] \ neg (A \ iff B) [/ matemáticas]. Dos problemas con esto. Primero, la equivalencia material y la equivalencia lógica no son lo mismo. [math] \ neg (A \ equiv B) [/ math] podría ser cierto mientras que todavía es el caso de que A coincide con B. Segundo, A y B podrían no ser materialmente equivalentes y aún así podrían coincidir (solo porque algo no es No siempre el caso no significa que nunca sea el caso).
Podríamos tomar el sistema condicional anterior y agregar otras condiciones: 1. [matemáticas] \ neg A \ Rightarrow B [/ matemáticas]; 2. [matemáticas] A \ Rightarrow \ neg B [/ matemáticas]. Entonces podríamos usar el truco de conjunción desde arriba para obtener: [matemáticas] \ neg [(\ neg A \ Rightarrow B) \ Rightarrow \ neg (A \ Rightarrow \ neg B)] [/ math]. Pero esto es bastante difícil de manejar y no se corresponde con la forma en que las personas realmente razonan tan bien como [matemáticas] A \ oplus B [/ matemáticas].
Además, para que esto implique [matemática] A [/ matemática] [matemática] \ oplus B [/ matemática], necesitaríamos la ley del medio excluido, que cualquier declaración (como, por ejemplo, A) debe ser verdadero o no verdadero Pero expresamos la ley del medio excluido con una disyunción ([math] \ phi \ lor \ neg \ phi [/ math] para todas las declaraciones [math] \ phi [/ math]), y solo podemos reemplazar * that * disjunto con un sistema de condiciones si se cumple en primer lugar. Esto podría no ser fatal porque la ley del medio excluido está implícita en el axioma de elección, pero eso introduce algunos problemas que están más allá del alcance de esta respuesta.
El caso de la lógica del predicado también es complicado con la disyunción exclusiva. Podríamos convertir [matemáticas] A \ oplus B [/ matemáticas] en [matemáticas] \ nexistas \ neg P (\ neg Q) \ tierra \ nexistas P (Q) [/ matemáticas], donde [matemáticas] P [/ matemáticas] se define como todos los casos en los que [matemática] A [/ matemática] es verdadera y [matemática] Q [/ matemática] se define como todos los casos en que [matemática] B [/ matemática] es verdadera. Pero hemos introducido una conjunción aquí. Para deshacernos de él utilizando el truco anterior, tenemos que definir aún más R como [matemáticas] \ nexistas \ neg P (\ neg Q) [/ matemáticas] y S como [matemáticas] \ nexistas P (Q) [/ matemáticas] , y luego afirmar [matemáticas] \ existe R (S) [/ matemáticas].
En resumen, la respuesta es no, e incluso si reemplaza la equivalencia lógica con la equivalencia material, la respuesta sigue siendo no. Pero con implicación, la respuesta se convierte en un tenso sí.
