No hay relación entre “morfismos” y “una cosa transformándose en otra”. Muchas estructuras matemáticas consisten en objetos (por ejemplo, grupos) y mapas entre esos objetos (por ejemplo, homomorfismos). Hay una generalización de esta situación (y muchas otras) llamada una categoría que consiste en objetos y morfismos que satisfacen varias reglas.
Hay situaciones en las que una función puede “transformarse” en otra función, como por ejemplo en la teoría de la homotopía; las homotopías pueden considerarse morfismos (como la mayoría de las cosas matemáticas pueden), pero esta es una excepción, no la regla. La mayoría de las veces los morfismos no son deformaciones: son mapeos que preservan cierta estructura, o son algo completamente diferente. Por ejemplo, un conjunto ordenado a veces se considera como una categoría donde los elementos del conjunto sirven como objetos y existe un morfismo [matemático] a \ to b [/ matemático] siempre que [matemático] a <b [/ matemático]. Del mismo modo, un grupo puede describirse como una categoría con un solo objeto, donde los morfismos son los elementos del grupo.
También debo señalar que “Casi todos los avances en matemáticas parecen provenir de esta característica de ‘morfismos'” no es una declaración con la que espero que muchos matemáticos estén de acuerdo. El lenguaje de la teoría de categorías es un marco conveniente para describir muchas cosas dispares de manera uniforme, y la teoría tiene algunas características bastante sorprendentes en sí misma, pero decir que cualquier característica de los morfismos subyace a la mayoría de los avances en matemáticas es simplemente falso (y apenas eso )
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Con respecto a cómo los morfismos difieren de las equivalencias: simplemente no lo son. Un mapeo de un espacio a otro no es una equivalencia. Hay varias nociones de “equivalencia” en matemáticas y todas son simétricas (si A es equivalente a B, entonces B es equivalente a A), mientras que los morfismos no son una relación en general, y no tienen un aspecto simétrico implícito.
Con respecto a cómo los morfismos difieren de las igualdades: simplemente no lo son. Una igualdad es un tipo muy especial de equivalencia.
Aquí hay una lista de algunos morfismos comúnmente encontrados:
- Funciones Objetos: Conjuntos. Funciones sin restricciones de un conjunto a otro.
- Transformaciones lineales. Objetos: espacios vectoriales sobre un campo fijo.
- Homomorfismos grupales. Objetos: grupos. Mapeos que preservan la estructura del grupo.
- Anillo homomorfismos. Objetos: Anillos. Mapeos que preservan la estructura del anillo.
- Mapas continuos. Objetos: espacios topológicos.
- Cubriendo mapas. Objetos: espacios topológicos. Esos son un tipo especial de mapas continuos sobreyectivos.
- Functores Objetos: categorías (pequeñas). Esos son mapeos de los objetos y morfismos de una categoría a otra. Entonces meta.
- Transformaciones naturales. Objetos: Functores. ¿Pensaste que el anterior era meta?
