Solo para que estemos en la misma página: no se puede expresar un fractal como una función diferenciable sobre un dominio continuo. Pero no estás sugiriendo eso o preguntando eso.
Sin embargo, puede encontrar una función diferenciable (analítica) que se aproxime a un fractal. Siempre que tenga valores de función aproximados, puede usar polinomios u otras funciones para aproximar el fractal y calcular la derivada.
Encontrar una transformación que puedas aplicar a un fractal es un poco más difícil. El problema es que la mayoría de los fractales, pero no todos, se definen como límites de series infinitas para cada uno de los puntos del fractal. Si tal transformación existiera, transformaría una colección infinita de límites de serie en una función n-dimensional de n variables, como f (x, y, z).
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Uno de los próximos obstáculos que enfrenta es que estas series generan puntos discretos y no una función continua. Para avanzar, necesitaría desarrollar órbitas continuas para representar estas órbitas discretas.
He estado trabajando en esta cuestión durante varios años y aquí está el enfoque que he tomado. He desarrollado este análisis para fractales de árbol que es, como resulta, una generalización de todos los fractales del sistema L. Pero todavía no, para Julia sets y Mandelbrot. Aunque sigo intentándolo 🙂
A continuación se muestra un ejemplo de una curva de Koch construida con un árbol fractal con órbitas analíticas (diferenciables). Esto significa que podemos calcular la derivada de las órbitas que definen el fractal a cualquier profundidad.
Esta curva resulta de una función diferenciable de valores múltiples.
Como está interesado en ajustar una función en los puntos de los fractales a cierta profundidad, tendrá que suponer que esta función “derivada” es perpendicular a la órbita en esos puntos. Esta es una suposición arbitraria pero natural.
En otras palabras: al encontrar una representación diferenciable de las órbitas que definen un conjunto fractal, obtendrá automáticamente un conjunto de diferenciales a una profundidad determinada. Esto incluso puede ser una profundidad no entera.
Aquí hay una herramienta en línea que le dará una idea de estos fractales de árboles suaves. Fractales Genéticos
Un artículo que describe las matemáticas está en arxiv: [1501.01675] Coordenadas derivadas para fractales de árbol analítico e ingeniería fractal
