¿Se puede realizar cada grupo como el grupo de homeomorfismo de algún espacio topológico?

Primero, tenga en cuenta que esto no funcionará a menos que admitamos espacios topológicos bastante patológicos: cualquier cosa remotamente geométrica tendrá un grupo de automorfismo absolutamente enorme, como puede ver al considerar el grupo de automorfismo de un segmento de línea [0, 1] . Así que tendremos que usar espacios que no satisfagan los axiomas de separación básicos. * *

Para el caso de grupos finitamente generados, la respuesta es aparentemente “sí”; ver

Para grupos más generales, no lo sé, aunque no conozco muchos grupos interesantes no generados finitamente que no tengan estructura adicional. Por ejemplo, el grupo aditivo de los números racionales no se genera de manera finita, pero viene con una topología que proviene del ordenamiento de los enteros.

* Si trabaja en una categoría donde este tipo de tonterías no sucede, puede salirse con la suya haciendo versiones geométricas de gráficos y usando los teoremas correspondientes allí, como el teorema de Frucht. Inicialmente di una respuesta incorrecta en este sentido; Gracias a Jake McNamara por señalar esto en los comentarios.

Si.

Citando del grupo topológico #Ejemplos:
“Cada grupo puede convertirse trivialmente en un grupo topológico considerándolo con la topología discreta; dichos grupos se denominan grupos discretos. En este sentido, la teoría de los grupos topológicos subsume la de los grupos ordinarios”.