¿Debería modificarse pi en función de la curvatura del espacio-tiempo?

Como han señalado otros carteles, [math] \ pi [/ math] se define en términos de una geometría plana ideal. Desafortunadamente, las desviaciones de la planitud en el universo real son lo suficientemente desordenadas como para que no haya un valor alternativo particular con el que tenga sentido reemplazarlo.

Primero, a grandes escalas de distancia, el universo es plano (que es un rompecabezas, el problema de la llanura, porque podría haber sido de otra manera fácilmente), por lo que no se necesita ninguna modificación.

Entonces, si consideramos un ejemplo muy simple de lo que podría haber sido, una curvatura positiva uniforme, la relación de diámetro a radio ni siquiera es constante: es [matemática] \ pi [/ matemática] para círculos pequeños pero se cae para círculos grandes . El ecuador, considerado como un círculo en la tierra, tiene un diámetro de [matemática] \ pi d [/ matemática] ([matemática] d [/ matemática] es el diámetro de la tierra, no el diámetro del círculo ecuatorial) , y un diámetro de [matemática] \ frac {1} {2} \ pi d [/ matemática] (la distancia desde el ecuador al polo de regreso al ecuador, 1/2 circunferencia), entonces [matemática] \ pi_ { efectivo} = 2 [/ matemáticas].

Luego, cerca de las masas gravitantes, la curvatura es desigual, por lo que es aún menos digna de una constante fundamental redefinida. Solo tiene que tomar el caso plano con [math] \ pi [/ math] regular como línea de base y cuantificar las diferencias.

La proporción del radio de un círculo a su circunferencia, supongo, podría expresarse con un número diferente para pi en el espacio curvo, pero esa no es la forma en que se trata. Según Euclides, se supone que el área A de una esfera es [ 4 (pi) R ^ 2 ] para que podamos definir un radio pronosticado como { [A / 4 (pi)] } ^ 1/2 Pero si hacemos un medida y encontrarlo diferente, entonces podemos escribir el resultado como

Radio en exceso = radio medido – [área medida / 4 (pi)] ^ 1/2

Feynman dedica un breve capítulo al tema (Capítulo 42). La regla que Einstein dio para la curvatura es la siguiente: “Si hay una región del espacio con materia dentro, y tomamos una esfera lo suficientemente pequeña como para que la densidad rho sea efectivamente constante, entonces el exceso de radio para la esfera es proporcional a la masa dentro de la esfera “.

Radio en exceso = {[Área / 4 (pi)] ^ 1/2} – radio medido = GM / (3) (c ^ 2)

Además, la conocida relación cosmológica entre la masa y el radio de Hubble (MG / Rc ^ 2 ) es aproximadamente igual a uno. En el formalismo de Einstein, el radio en exceso sería, por lo tanto, de aproximadamente ( 1/3) R. ¡Esto podría coincidir con las estimaciones 3x del tamaño actual de lo que ahora se experimenta como la esfera de Hubble!

¿Estamos hablando de la abstracción matemática o del número utilizado para calcular cantidades reales reales?
Si lo primero, no, no hay necesidad.
Si esto último, sí, solo si es significativo, el universo es lo suficientemente plano a nivel local para que nunca tenga que hacer esto. Quizás nuestros antepasados ​​lejanos tengan que hacerlo, por alguna razón. Pero ya hemos agotado la precisión práctica de pi, de todos modos.
Considerar:
1. No hay nada que podamos medir, incluso teóricamente, más grande que el universo observable.
2. No hay una medición precisa posible debajo de la escala de Plank.

Ergo: No hay necesidad de ningún valor de pi más preciso que el necesario para realizar mediciones en el tamaño del universo observable, con la precisión de la escala de Plank. No solo no hay necesidad, sino que según la ciencia, una necesidad ni siquiera es posible. Nunca podemos medir un objeto más grande o con mayor precisión.

63 dígitos más allá del punto decimal harán. Más de 63 dígitos no es más que ejercicio matemático, sin una aplicación práctica de todos modos.

Ugh! ¿Estás diciendo que cada vez que cambiamos de ubicación debemos dibujar un círculo y medir la proporción de su circunferencia al doble de su radio? Eso haría que [math] \ pi [/ math] sea una función de posición en, bueno, en cualquier espacio del que estés hablando. ¿Y qué pasa con las aplicaciones donde [math] \ pi [/ math] surge naturalmente pero no tiene interpretación geométrica?

No, lo mejor es calcular las diferencias de la geometría “plana” y hablar sobre ellas por separado del número constante [math] \ pi [/ math].

(¡O mejor aún, descarte [math] \ pi [/ math] y use [math] \ tau = 2 \ pi [/ math]! 😛)

No, puede usar geometría euclidiana en un espacio no euclidiano, pero solo en círculos. Entonces pi es más o menos 3.14159265359 en todas las geometrías.

En la vida real, la curvatura del espacio es tan leve que ni siquiera tenemos en cuenta la curvatura de la tierra en la construcción de ciudades. La curvatura del espacio es 100,000,000 veces menor que la de la curvatura de la tierra.

La gravedad de Newton en la geometría de euclides lleva al hombre a la luna.

Pi es un objeto matemático y su valor no tiene nada que ver con la realidad física.

Un círculo perfecto también es un objeto matemático y existe en la realidad matemática. Encontramos ciertas formas en nuestro mundo físico que pueden modelarse con mucha precisión (aunque no con una precisión del 100%) con el objeto matemático que llamamos círculo. Entonces, si nuestro espacio-tiempo tiene curvatura, solo significa que no podemos modelarlo como una variedad euclidiana. No afecta la geometría euclidiana o las matemáticas en ningún sentido. Entonces, su pregunta es básicamente sin sentido.

mira mi respuesta a una pregunta similar …

La respuesta de Andrew Weimholt a ¿Es posible que el valor de pi sea igual a uno en algún espacio teórico, ya que el valor de la relación de circunferencia a diámetro no es igual a pi en el espacio curvo?

No todos los círculos en el espacio-tiempo tendrán el mismo “pi efectivo”, por lo que el único valor para pi que tiene sentido es el pi en un espacio euclidiano plano.

La pregunta no tiene sentido.

Pi no se basa en ninguna medida real, es un concepto abstracto basado en el concepto igualmente abstracto de círculos perfectos. Los círculos perfectos son, por definición, imposibles en el mundo real, porque el mundo real es granular.

Pi es un número puro, la respuesta a varias series matemáticas simples como:

4 veces 1/1 + 1/3 – 1/5 + 1/7 – 1/9,….

Como tal, es un número puro y es independiente de cualquier geometría.

Ahora en nuestro mundo, que parece plano, Pi se asigna muy bien a los círculos que dibujamos.

En un universo deformado, usaría los mismos factores de dulce de azúcar que usa en la relatividad para ajustar Pi.

Pi es una constante profunda de las matemáticas, la constante asociada con la retroalimentación negativa. Sucede que el área y la circunferencia de un círculo en un espacio plano resultan ser pi. Pero eso es simplemente una instancia pi en el universo, no la definición matemática de pi. Pi también aparece en lugares de física fundamental que no tienen nada que ver con los círculos, hasta donde sabemos.

Pregunta muy interesante Los planetas viajan en línea recta y se puede barrer un círculo en menos de pi radianes en un cono. ¿La noción de “ángulos de un triángulo se suman” y “distancia barrida por un vector radial que viaja en un circuito cerrado” pierde todo significado en una topología no euclidiana?