Así es como lo haces usando un experimento mental. Imagine una caja en el espacio profundo en reposo, para que no actúen fuerzas sobre ella. Deje que la longitud de una de sus caras sea ‘L’ y su masa sea ‘M’.
Ahora imagine que un fotón se emite desde uno de sus bordes hacia el otro borde y viaja paralelo a la cara con longitud L. Digamos que este fotón tiene un impulso ‘p’.
Ahora, antes de que se emitiera el fotón, la cantidad de movimiento de todo el sistema era 0. Como ninguna fuerza ha actuado sobre la caja, la nueva cantidad de movimiento de caja + fotón debería ser 0. Por lo tanto, la caja obtiene un impulso de ‘p’ en la dirección opuesta a dirección de movimiento del fotón, o ‘-p’ en la misma dirección.
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Su velocidad será entonces [matemática] v = p / M [/ matemática]. Estoy descuidando los efectos relativistas en este momento, ya que se supone que la caja tiene suficiente masa para no adquirir una velocidad comparable a la velocidad de la luz con solo la emisión de un fotón.
El fotón ahora viaja en longitud ‘L’ en el tiempo L / c para alcanzar el otro extremo de la caja y se reabsorbe allí, en el proceso transfiere su impulso ‘p’ a la caja. La caja como resultado ahora se detendrá. Sin embargo, el centro de masa de todo el sistema parece haber cambiado una distancia [matemática] pL / (Mc) [/ matemática] ya que p / M era la velocidad de la caja y L / c era la duración del tiempo en el que estaba movimiento.
Pero ninguna fuerza externa actuó en este sistema, entonces, ¿cómo explicamos este cambio en el centro de masa? Puede explicarse si decimos que en realidad el centro de masa no ha cambiado en absoluto, el movimiento de la caja ha sido compensado por una transferencia de masa equivalente a través del fotón al lado opuesto de la caja.
Deje que la masa transferida a través del fotón sea ‘m’. Si [math] m * L = (M – m) * pL / ((M – m) c) [/ math], entonces el centro de masa no habría cambiado. Entonces obtenemos -:
[matemáticas] m = p / c [/ matemáticas]
Ahora el impulso de un fotón es su energía E dividida por la velocidad de la luz ‘c’.
Por lo tanto, [matemática] m = E / c ^ 2 [/ matemática]
Si revisa cuidadosamente esta prueba, verá que no hemos demostrado que pueda obtener energía ‘E’ de la masa ‘m’, hemos demostrado que la energía ‘E’ es equivalente a la masa [matemáticas] mc ^ 2 [/ matemáticas], no hay diferencia alguna.
Editar
Me preocupó el hecho de que el fotón en realidad no ha recorrido una distancia ‘L’ sino L-vt, ya que la caja también se movió en la dirección opuesta por vt. Resulta que incluso si ajustamos la prueba para tener esto en cuenta, las cosas resultan igual porque la caja también viaja en realidad por una duración más corta que L / c. Aquí está la derivación adecuada:
Tiempo que tarda el fotón en viajar de un borde a otro -:
[matemáticas] (L – vt) / c = t [/ matemáticas]
[matemáticas] t = L / (c + v) [/ matemáticas]
Distancia recorrida por fotón -:
[matemática] L – vt = L – vL / (c + v) = Lc / (c + v) [/ matemática]
Desplazamiento en el centro de masa total:
[matemáticas] ((Mm) pL / (Mm) (c + v) -mLc / (c + v)) / M = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] => m = p / c [/ matemáticas]
Entonces llegamos al mismo resultado
