¿Por qué S1xS1 (un toro) no es topológicamente igual que S2 (una esfera)?

Tienen diferentes grupos fundamentales de homología, por lo que los dos ni siquiera son homotópicamente equivalentes entre sí (dado que la equivalencia de homotopía los conserva). Además, la conectividad, como dijo Felipe (y esto se describe por homología), son diferentes. Puede eliminar un bucle / ciclo del Toro sin desconectar el toro (uno “transversal”), mientras que cualquier bucle / ciclo dibujado en la esfera 2 desconectará la esfera 2. De manera equivalente, 2-Sphere está simplemente conectado ([math] \ pi_1 (S ^ 2) = 0 [/ math]), pero el Torus no es [math] S ^ 1 \ times S ^ 1 = \ mathbb Z + \ mathbb Z [/ math]. Cualquier bucle cerrado en la superficie de la esfera puede reducirse continuamente hasta un punto, mientras que los re son bucles en la superficie del Toro que no pueden; tome cualquier circuito cerrado que vaya de norte a sur. Un homeomorfismo preservaría estas propiedades; aún más débil, una equivalencia de homotopía los preservaría.

EDITAR: Tenga en cuenta que las propiedades topológicas de conjunto de puntos estándar: compacidad, integridad, conectividad, conexión de ruta, etc., no son suficientes para distinguir los dos espacios.

Tienen diferentes grupos y homologías fundamentales, por lo que, por definición, son diferentes. Pero supongo que está pidiendo una cuenta intuitiva.

Lo siguiente puede ayudarlo. Piense en la esfera como si estuviera hecha de masa y luego perfore en un solo punto. Ahora piense en expandir ese agujero perforado con las manos hasta que tenga solo la mitad de la esfera. Resulta que esta media esfera es igual que el plano plano (si no tenemos en cuenta los puntos a lo largo del borde). En otras palabras, la media esfera es la misma que [matemática] R ^ 1 \ veces R ^ 1 [/ matemática], y entonces, transitivamente, la esfera perforada es la misma que el plano. Intuitivamente, uno esperaría que una esfera completa no fuera muy diferente de una esfera con un solo punto eliminado. Por lo tanto, puede pensar en [matemáticas] S ^ 2 [/ matemáticas] como más similar a [matemáticas] R ^ 2 = R ^ 1 \ veces R ^ 1 [/ matemáticas].

Por otro lado, el toro es [matemático] S ^ 1 \ veces S ^ 1 [/ matemático]. Como [math] R [/ math] y [math] S ^ 1 [/ math] no son lo mismo, la esfera 2 y el toro no son lo mismo topológicamente.

Puede incrustar el círculo en el toro para que su complemento esté conectado. No se puede hacer en la esfera (teorema de la curva de Jordan)

El argumento formal más simple es que tienen diferentes grupos de homología y homotopía en las dimensiones 1 y 2. Estos hechos básicos de topología algebraica son mucho más fáciles de probar que el teorema de Jordan.