Resuelva el problema: max (x + 3y + 4w + 2xy – yw) sujeto a x + y + w = 10?

Si el máximo existe, entonces las derivadas parciales deben ser todas iguales al máximo. De lo contrario, podríamos quitar un pequeño [math] \ epsilon [/ math] de una variable, y agregar la misma cantidad a otra variable, y alcanzar un óptimo más alto. (Tenga en cuenta que este razonamiento no sería cierto si agregamos una restricción de no negatividad, y también depende de que la función objetivo sea continua).

Tenemos:

[matemáticas] \ begin {align} [/ math]

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} & = 1 = \\ [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial y} & = 3 + 2x – w \\ [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial w} & = 4 – y [/ matemática]

[matemáticas] \ end {alinear} [/ matemáticas]

La primera y la tercera ecuaciones nos dan [matemáticas] y = 3 [/ matemáticas]. Para obtener x y w, necesitamos usar el hecho de que [matemática] x + y + w = 10. [/ matemática] Sustituyendo [matemática] x = 7 – w [/ matemática] en la segunda ecuación nos da [matemática] 3 + 2 (7 – w) – w = 17 – 3w = 1 [/ matemáticas], lo que implica que [matemáticas] w = \ frac {16} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ frac {5 } {3} [/ matemáticas]. Por lo tanto, si la función tiene un óptimo, este es.

Al evaluar la función en este punto, obtenemos 58. Sin embargo, si intentamos x [matemática] = 6, y = 4, w = 0 [/ matemática], obtenemos [matemática] 6 + 3 (4) + 2 (6 ) (4) = 6 + 12 + 48 = 66> 58 [/ matemáticas]. (Utilicé la función FindInstance de Mathematica para obtener este contraejemplo). Entonces, (5 / 3,3,16 / 3) no es un máximo global, pero podría ser un máximo local, un mínimo (local) o una silla de montar punto.

Supongo que querías incluir una restricción de no negatividad [matemática] x, y, z \ geq 0 [/ matemática]. Si ese es el caso, tome el siguiente enfoque: Para cada variable [matemáticas] x_i \ in \ {x, y, z \} [/ matemáticas] al menos una de las siguientes dos condiciones debe cumplir:

[math] \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} = \ lambda [/ math]
[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x_i} <\ lambda [/ matemática] Y [matemática] x_i = 0 [/ matemática].

para alguna constante [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas]. Ya hemos descartado el caso donde todas las derivadas parciales son iguales a lambda, por lo que debe ser que una o dos variables sean iguales a cero en el óptimo. Esto le da solo unos pocos casos para verificar, lo que requerirá menos álgebra que la anterior. Si aún no puede resolverlo, puedo volver a esta respuesta más tarde.

ÁlgebraMatemáticasPregunta de tarea de álgebra

Cómo obtener la información del marco mundial basada en la siguiente información

¿Cuál es la ecuación del par de líneas a través de [matemáticas] (3, -1) [/ matemáticas] perpendicular a las líneas representadas por [matemáticas] x ^ 2-xy-2y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]?

¿Cuál es el problema con la optimización de la base de datos?

¿Pueden las matemáticas explicar la existencia fuera de nuestro universo?

Si se le da el trinomio x ^ 2 + 18x – 40, ¿puede decir qué dos binomios se multiplicaron para obtener esta respuesta? Si esto no es posible, dígalo.

¿Existe un sitio web que permita buscar fácilmente estudios científicos creíbles?

Use multiplicadores de lagrange para resolver este problema:

Maximizar f (x, y, w) = x + 3y + 4w + 2xy – yw
con respecto a la restricción g (x, y, w) = x + y + w – 10 = 0

L (λ)
= f (x, y, w) – λg (x, y, w)
= x + 3y + 4w + 2xy-yw-λ (x + y + w-10)

Tomando las derivadas parciales alrededor de L y equiparándolas a 0, obtenemos:

(1) wrt x → 1 + 2y – λ = 0
(2) wrt y → 3 + 2x – w – λ = 0
(3) wrt w → 4 – y – λ = 0

De (1) y (3),
λ = 1 + 2y y λ = 4 – y para que 1 + 2y = 4 – y → 3y = 3 → y = 1
Entonces λ = 3 .
De (2),
2x – w = 0 porque λ = 3 para que 3 – λ = 0
Entonces w = 2x

Debido a que no ha definido el dominio de f, supondré que es todo el espacio real tridimensional. En este caso, no hay un máximo único para este problema, pero se producirá un máximo idéntico siempre que elijamos puntos

(x, y, w) en R³ tal que (x, y, w) = (x, 1,2x).

Esto es equivalente a decir lo siguiente:

Sea t cualquier número real. Entonces f se maximiza sujeto a la restricción g cada vez que elegimos un punto ( t , 1 , 2t ) en el dominio de f .

Esto terminará dándonos un máximo lagrangiano de 30 cada vez, si usamos t para ser cualquier número real. Por supuesto, podríamos dejar que t + 1 + 2t = 10 para que t = 3. Luego, usando t = 3 en f (3,1,6) da la misma respuesta.

Entonces, en realidad, hemos maximizado f sujeto a la restricción. Si x + y + w debe ser igual a 10, el máximo que puede alcanzar esta función es 30.

Espero que esto ayude.

C Kenneth Rowe

* A2A

[matemáticas] f (w, x, y) = x + 3y + 4w + 2xy-yw \\ S (w, x, y) = w + x + y-10 \\ ——————– \\ \ begin {array} {c} f_w = 4-y & S_w = 1 \\ f_x = 1 + 2y & S_x = 1 \\ f_y = 3 + 2x-w & S_y = 1 \ end {array} \\ ——————— \ \\ text {Usando multiplicadores de Lagrange …} \\ f_w = cS_w \ implica 4-y = c \\ f_x = cS_x \ implica 1 + 2y = c \\ f_y = cS_y \ implica 3 + 2x-w = c \\ – ——————- \\ 4-y = 1 + 2y \\ 3y = 3 \\ y = 1 \\ 3 + 2x-w = 0 \\ w = 2x \ tag * {} [/ matemática]

A partir de aquí, no estoy realmente seguro de si esto realmente podrá darme un valor particular que produzca un máximo para [math] f (w, x, y) [/ math]. Seamos realistas, [matemáticas] f [/ matemáticas] es una función no lineal, lo que significa que tendrá protuberancias, mientras que [matemáticas] w = 2x [/ matemáticas], tener una relación lineal no es probable que satisfaga los casos para todos los pares ordenados de la forma [math] (2x, x, 1) [/ math] para obtener un máximo para [math] f [/ math].

Michael Jørgensen

Un poco flojo hoy para resolver esto, ¡pero tu primer respondedor lo ha logrado!

Michael Jørgensen

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