Permítanme probar un enfoque diferente, no matemático, porque creo que puedo simpatizar con su pregunta. Solía molestarme en la escuela. La razón por la que no existe una comprensión del “sentido común” del producto cruzado es porque es una herramienta matemática pura, que simplemente funciona.
Cuando aprendí por primera vez los productos de punto dije: OK, eso tiene sentido. Luego aprendimos los productos cruzados y dije, woah, ¿de dónde vino eso? ¿Cómo puede combinar dos vectores en un plano dar como resultado un vector perpendicular a ambos? No tiene sentido.
Y la respuesta es, no, no tiene sentido. No estamos tratando de aplicar algún tipo de realidad física al vector resultante, solo lo estamos usando como herramienta porque funciona. En realidad, puede sumar, restar y hacer cualquier cosa con esos vectores resultantes como cualquier vector, y el resultado será el mismo que si calculara todos los componentes uno por uno. Parece una coincidencia afortunada que la idea funcione, y es una suerte para nosotros. Se ahorra mucho tiempo.
Pero cuando termine su álgebra vectorial, obtendrá una respuesta significativa que nunca dependerá de la elección de la regla de la mano izquierda o derecha. Echale un vistazo.
¿Por qué el producto cruzado de 2 vectores tiene que ser anti-conmutativo? Y por favor no responda usando la regla del pulgar derecho o la regla del pulgar izquierdo.
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Esta es una pregunta interesante, pero la redacción es ambigua. Como resultado, las respuestas actuales son básicamente alguna versión de “porque esa es la definición de producto cruzado”. Si bien son técnicamente correctos, no llegan al meollo del problema.
La respuesta corta a su pregunta es que cualquier operación binaria distributiva bilineal en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], si mapea cada par de vectores paralelos al vector cero, debe ser anti-conmutativa.
La explicación detallada a continuación.
En general, cuando uno encuentra un nuevo concepto matemático, es una buena idea reflexionar por qué se definió de esa manera en primer lugar. Su pregunta podría ser más clara si se indica de la siguiente manera:
¿Existe una operación binaria en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] que satisface algunas de las propiedades definitorias del producto cruzado pero con anti-conmutatividad reemplazada por conmutatividad?
Tenga en cuenta que dije algunas de las propiedades definitorias. La respuesta a la pregunta dependerá de las propiedades del producto cruzado que decida incluir. Por ejemplo, una formulación matemática precisa de su pregunta podría leerse como sigue:
PREGUNTA: ¿Existe una operación binaria bilineal, distributiva, conmutativa, no trivial [matemática] * [/ matemática] en [matemática] \ mathbb {R} ^ 3 [/ matemática] que satisface [matemática] x * x = 0 [ / math] para todos [math] x [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]?
Para responder a esta pregunta, partimos de los supuestos y derivamos consecuencias para ver qué tipo de estructura generan.
Tenga en cuenta que:
[matemáticas] 0 = (x + y) * (x + y) [/ matemáticas]
[matemáticas] = x * x + x * y + y * x + y * y [/ matemáticas]
[matemáticas] = x * y + y * x. [/ matemáticas]
Se deduce que [matemáticas] x * y = – y * x [/ matemáticas]. Pero por el axioma de conmutatividad, tenemos [matemáticas] y * x = x * y [/ matemáticas]. Entonces tenemos [matemática] x * y = -x * y [/ matemática], o [matemática] 2 x * y = 0 [/ matemática], que se simplifica a [matemática] x * y = 0 [/ matemática].
En otras palabras, hemos demostrado que [math] x * y = 0 [/ math] para cualquier [math] x, y \ in \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], que es el producto trivial.
Entonces, la respuesta a su pregunta original es que la anti-conmutatividad del producto cruzado es una consecuencia de suposiciones naturales sobre la ortogonalidad y la magnitud del producto.
Por cierto, hay un bonito artículo titulado Producto vectorial multidimensional de ZK Silagadze que trata el producto cruzado de siete dimensiones:
http://arxiv.org/pdf/math/020435 …
El producto vectorial se define como A × B = determinante (ijk, a1 a2 a3, b1 b2 b3)
Entonces B × A sería = determinante (ijk, b1 b2 b3, a1 a2 a3)
Sabemos que si cambiamos una fila en un determinante, entonces el valor se convierte en su opuesto.
Entonces, A × B = – (B × A)
El producto cruzado, a diferencia del producto de puntos, es un vector y contiene información adicional sobre la orientación. El par es un ejemplo natural de una realización física del producto cruzado. Sin embargo, si OP no está satisfecho, hay un contexto matemático más profundo detrás de la anticommutatividad del producto cruzado.
La breve explicación es que la presencia de grados adicionales de libertad no permite que ciertas leyes algebraicas se mantengan. En este caso, se pierde la ley conmutativa en 3 dimensiones, explicada en parte por el hecho de que sin la “regla de la mano derecha”, la definición del producto cruzado tendría, como dijo Sawyer, dos soluciones distintas.
Se podría restringir que el producto cruzado tenga, digamos, el medio plano superior como su rango, pero entonces ya no podemos expresarlo naturalmente en términos de los componentes de sus operandos.
El producto cruzado y su primo (el producto de puntos) son descendientes de los cuaterniones, un sistema de números que extiende los números complejos. Tienen la presentacion
[matemáticas] \ qquad i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = ijk = -1. [/ matemáticas]
y no son conmutativos en general. Tanto los cuaterniones como los números complejos tienen conexiones íntimas con la rotación (de hecho, sus respectivos grupos de unidades son isomórficos para SU (2) y SU (1)). Debido a la naturaleza no intuitiva de los cuaterniones, el análisis cuaterniónico se abandonó a favor del cálculo vectorial. Y así nacieron el producto punto y el producto cruzado: son simplemente los componentes reales y no reales del producto [math] -ba [/ math] para dos vectores [math] a, b [/ math] de base {i, j , k}.
Es importante tener en cuenta que, a diferencia del producto de puntos, el producto cruzado es exclusivo de 3 y 7 dimensiones. No es posible definir un producto cruzado generalizado que exprese un vector perpendicular a dos vectores dados en términos de adición y multiplicación de sus componentes. De hecho, la existencia del producto cruzado en 3 y 7 dimensiones es precisamente el resultado del descubrimiento de los cuaterniones y su contraparte más grande, los octoniones.
Intentaré otra versión de esto
El plano donde se encuentran ayb está orientado. Es decir, un lado es “frente”, otro es “atrás”. El producto cruzado sobresale en la dirección “frontal”.
Y de qué lado está el que está determinado por el orden del producto cruzado.
¿Por qué es este lado y no lo contrario (¿por qué la regla de la mano derecha y no la regla de la mano izquierda?)? Simplemente porque encaja bien con muchas otras matemáticas. Es arbitrario, pero muchas matemáticas se verían raras si escogiéramos la definición cruzada de productos de manera diferente, y en última instancia alguien tendría suficiente, la definiría de la forma en que la tenemos ahora, se daría cuenta y usted tendría exactamente la misma pregunta …
Esto sucede mucho y, en muchos casos, el mismo símbolo se define de manera ligeramente diferente en diferentes documentos.
Piénselo de esta manera, 2 vectores no paralelos en un plano (digamos [math] \ vec a [/ math] y [math] \ vec b [/ math]) tienen exactamente 2 vectores perpendiculares a ambos (digamos [math] \ vec c_1 [/ math] y [math] \ vec c_2 [/ math]).
En nuestra definición actual de producto cruzado, tanto [math] \ vec c_1 [/ math] como [math] \ vec c_2 [/ math] se pueden obtener de [math] \ vec a \ times \ vec b [/ math] y [math] \ vec b \ times \ vec a [/ math].
Si ambos productos tuvieran la misma dirección, entonces solo uno de [math] \ vec c_1 [/ math] o [math] \ vec c_2 [/ math] podría obtenerse, y la herida conduce al problema de decidir cuál elegir escoger.
Además, se deberían especificar condiciones adicionales al utilizar productos cruzados en ecuaciones matemáticas.
(Otro ejemplo más simple es [matemática] | x | [/ matemática] con la que es difícil trabajar)
El producto cruzado actual es matemáticamente simétrico y simplifica la vida.
Es así por definición. ¿Se pregunta por qué no definimos el producto cruzado de una manera diferente? El principal problema es que hay dos vectores unitarios perpendiculares a cualquier par de vectores no paralelos. ¿Cómo propones que elijamos uno sobre el otro? Hacer que el producto sea antisimétrico y decidir cuál de los dos vectores perpendiculares usar en función del orden del producto es lo único sensato.
También ayudaría a comprender lo que un producto cruzado puede representar físicamente. Considera Torque. El par se define como el producto transversal del vector de desplazamiento entre el objeto y el eje de rotación y la fuerza aplicada. Es decir:
[matemáticas] \ vec {\ tau} = \ vec {r} \ veces \ vec {F} [/ matemáticas]
¡Usar la regla de la mano derecha aquí es vital, porque de lo contrario este producto vectorial no puede decirnos en qué dirección está girando el objeto!
Dado un vector de torque en física, podemos decir en qué dirección están girando las cosas (en sentido horario o antihorario) porque hacemos una distinción entre [matemáticas] \ vec {A} \ times \ vec {B} [/ matemáticas] y [matemáticas ] \ vec {B} \ times \ vec {A} [/ math]. La dirección del giro sería ambigua de lo contrario. Nos gusta mantener las cosas sin ambigüedades en matemáticas.
El producto cruzado de a y b es igual al producto de las magnitudes de a y b con un ángulo seno de un vector a un vector b.
El producto cruzado de by a es igual al producto de las magnitudes de by a con un ángulo de pecado del vector b a un vector.
Ver la dirección del ángulo
Como en la fórmula sinusoidal, sin (-A) = -sin (A),
A * B = -B * A
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