Ilustraré cómo los números de devanado están relacionados con los potenciales de calibre (y, por lo tanto, las transformaciones) mediante un simple ejemplo físico. Te mostraré dos perspectivas y la diferencia entre las dos implicará la necesidad de un número sinuoso.
Considere una partícula cuántica en un anillo sumergido en un campo magnético, por lo que el anillo está enhebrado por un flujo magnético [matemático] \ Phi [/ matemático]. Trabajaremos en unidades donde [math] c = e = \ hbar = 1 [/ math]. La coordenada [matemática] \ phi [/ matemática] es el ángulo polar mientras que el radio de rotación es constante. 
Perspectiva Hamiltoniana
El hamiltoniano es
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[matemáticas] H = \ frac 12 (-i \ partial_ \ phi – A) ^ 2 [/ matemáticas]
y los niveles de energía son
[matemáticas] E_n = \ frac 1 2 (n – \ frac \ Phi {\ Phi_0} ^ 2) [/ matemáticas]
donde [matemáticas] A = \ Phi / \ Phi_0 [/ matemáticas]
entonces los niveles de energía dependen explícitamente del potencial del medidor.
Principio de la perspectiva de la menor acción (es decir, lagrangiana)
La función de partición [matemática] Z [/ matemática] viene dada por
[matemáticas] Z = \ int D \ phi e ^ {- S} = \ int D \ phi e ^ {- \ int_0 ^ \ beta d \ tau L (\ dot \ phi, \ phi)} [/ math]
donde [matemática] L = \ frac 12 \ dot \ phi ^ 2- i A \ dot \ phi [/ math] es la llamada lagrangiana.
Aquí, la integral repasa las configuraciones donde
[matemáticas] \ phi (\ beta) – \ phi (0) \ en 2 \ pi \ mathbb Z [/ matemáticas]
Las ecuaciones de movimiento se dan minimizando la acción [matemática] S [/ matemática], entonces
[matemáticas] \ frac {\ delta S} {\ delta \ phi} = 0 [/ matemáticas]
entonces obtenemos [math] \ ddot \ phi = 0 [/ math] para la ecuación de movimiento.
Bastante simple. De esto concluimos que
- El potencial de calibre [matemática] A [/ matemática] no entra en la ecuación de movimiento.
- Sin embargo, claramente tiene un efecto físico como vimos por su aparición en los niveles de energía.
¿Cómo reconciliamos las dos perspectivas?
Bueno, la perspectiva lagrangiana pierde toda una familia de soluciones
[matemáticas] \ phi_W = 2 \ pi W \ tau / \ beta [/ matemáticas]
que dependen de forma discontinua del número entero [math] W [/ math]. Este es precisamente el número de liquidación. Cuenta cuántos bucles [matemática] \ phi [/ matemática] se envuelven alrededor del anillo. Además, las deformaciones continuas de [math] \ phi [/ math] dejan invariante [math] W [/ math], por lo que es un número topológico.
Respuesta final
Las soluciones con [math] W [/ math] están representadas por la acción
[matemáticas] S_ {top} = i A \ int_0 ^ \ beta d \ tau \ dot \ phi = i 2 \ pi W [/ matemáticas]
Esta es la relación precisa entre el potencial del indicador [matemática] A [/ matemática]
y el número de devanado [matemática] W [/ matemática].
