Muchos han oído hablar de la famosa paradoja del barbero:
El barbero es quien afeita a todos y solo a los que no se afeitan. La pregunta es, ¿se afeita el barbero?
Piénsalo.
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Si el barbero se afeitara, entonces no se afeitaría porque solo afeita a los que no se afeitan. Si no se afeitó a sí mismo, entonces se afeita a sí mismo porque solo afeita a los que no se afeitan.
Claramente, hay algún tipo de contradicción aquí. ¿Cómo deberían los matemáticos resolver tal paradoja?
La respuesta es simple pero elegante. ¡Esto no es una paradoja, es simplemente una prueba por contradicción de que tal universo que contiene tal barbero no puede existir!
Aquí hay una prueba rigurosa que involucra la lógica matemática:
Deje que [math] \ mathbb {U} [/ math] sea el conjunto de todos los hombres de la comunidad. Este es el conjunto universal.
Deje que [math] S: \ mathbb {U} \ to \ {T, F \} [/ math] sea la función proposicional, llevando a un hombre al valor de verdad que representa si se afeita o no. También tenemos:
[math] \ forall x \ in \ mathbb {U}: B (x) \ iff x \ textbf {está afeitado por} b \ tag * {} [/ math]
Las premisas iniciales se pueden escribir en lógica formal como:
[math] \ forall x \ in \ mathbb {U}: (\ neg S (x)) \ iff B (x) \ tag * {(1)} [/ math]
[matemáticas] B (b) \ iff S (b) \ etiqueta * {(2)} [/ matemáticas]
De estos se deduce que:
[matemáticas] S (b) \ iff B (b) \ iff (\ neg S (b)) \ tag * {} [/ matemáticas]
Sin embargo, se desprende de la transitividad del operador bi-condicional:
[matemáticas] \ vdash ((p \ iff q) \ wedge (q \ iff r)) \ Longrightarrow (p \ iff r) \ tag * {} [/ math]
(Básicamente, si [matemática] p [/ matemática] implica [matemática] q [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] implica [matemática] r [/ matemática] entonces [matemática] p [/ matemática] implica [matemática ] r [/ matemáticas].)
Tenemos:
[matemáticas] S (b) \ iff (\ neg S (b)) \ tag * {} [/ matemáticas]
Esto es una contradicción, por lo que las premisas iniciales son contradictorias y no pueden sostenerse. Esto muestra que no existe un universo con estas propiedades.
