¿Por qué escribimos [matemáticas] \ cos ^ 2 (x) [/ matemáticas] cuando [matemáticas] (\ cos x) ^ 2 [/ matemáticas] tendría mucho más sentido?

Ambos se ven comúnmente. Creo que primero debes decidir si quieres poner paréntesis o no alrededor del argumento de tu función trigonométrica. ¿Usarás [math] \ tan x [/ math] o [math] \ tan (x) [/ math]? El segundo es más consistente con la forma en que escribimos las funciones de los argumentos, pero el primero requiere menos caracteres y se ve un poco mejor, ya que no tiene paréntesis. Por lo tanto, las personas a menudo usan el primero aunque sea menos acorde con las convenciones de las funciones generales.

Ahora, si desea escribir el cuadrado de la tangente de [math] x [/ math], tiene varias opciones razonables: [math] (\ tan x) ^ 2 = \ tan ^ 2 x = (\ tan (x) ) ^ 2 = \ tan ^ 2 (x) [/ math]. Las únicas malas ideas serían tratar de usar [matemáticas] \ tan x ^ 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] \ tan (x) ^ 2 [/ matemáticas] porque también podrían ser (y la primera es típicamente) interpretada significa la tangente del cuadrado de [math] x [/ math] (que, por supuesto, no es, en general, igual al cuadrado de la tangente de [math] x [/ math]).

De las cuatro opciones razonables que enumeré, afirmo que la tercera es realmente la que es más consistente con nuestro uso de paréntesis para rodear argumentos de funciones. Pero, por supuesto, el tercero también es el más feo, ya que tiene paréntesis anidados que deben resolverse. El primero parece un poco inconsistente ya que usa paréntesis para rodear el argumento de la función que se ajusta al cuadrado pero no para rodear el argumento de la función tangente. (Esta fue la elección que parecía preferir en su pregunta a pesar de esta inconsistencia.) El segundo es el más atractivo visualmente ya que tiene la menor cantidad de caracteres, por lo que es lo que la mayoría de la gente ha adoptado (aunque no fue una de las opciones di en la pregunta). El cuarto es probablemente solo el segundo más común (a pesar de ser el que usted indica en la pregunta que normalmente escribiría). Sin embargo, todos interpretarían los cuatro de la misma manera si tuvieran una experiencia razonable en matemáticas.

Es más conveniente escribir, y mucho más fácil de leer, cos² x que (cos ( x )) ².

Esto se convierte especialmente en el caso a medida que el argumento se vuelve más complicado, o cuando la expresión es parte de una más grande.

Por ejemplo, que es más legible:

[matemáticas] \ text {abs} (\ cos (x)) = \ text {sqrt} (1 – (\ cos (\ pi / 2-x)) ^ 2) [/ math]

o

[matemáticas] | \ cos {x} | = \ sqrt {1- \ cos ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {2} -x \ right)} [/ math]

?

Creo que es solo un atajo de escritura. Te hace guardar un par de paréntesis. Además, las funciones trigonométricas al cuadrado son muy útiles y comunes en algunos campos de la física, y tienen propiedades matemáticas específicas (las más famosas son [matemáticas] \ cos ^ 2 (x) + \ sin ^ 2 (x) = 1 [/ matemática]), por lo que es bastante lógico preferir una escritura que haga [matemática] \ cos ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ sin ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ tan ^ 2 [/ matemática] etc. destaque para que pueda detectarlos fácilmente y usar esas fórmulas.