También aprendimos que los generadores infinitisemal [ sic ] de los grupos de mentiras SO (3) y SU (2) forman un álgebra de mentiras. ¿Es esa conexión una característica universal de Lie-Algebras?
Sí lo es. A saber, recuerde que un grupo de Mentiras es tanto un grupo como una variedad, y:
- A cada punto en un múltiple podemos asociar un espacio vectorial de “direcciones” a lo largo del múltiple desde ese punto, es decir, lo que un físico podría llamar “generadores infinitesimales de traducción” a lo largo del múltiple. Este espacio vectorial se llama espacio tangente en ese punto.
- Considere el espacio tangente a un grupo de Lie en el elemento de identidad del grupo de Lie. La estructura de grupo del grupo de Lie (la estructura adicional que ha comparado con un múltiple simple) nos permite dotar al espacio tangente con un corchete de Lie, convirtiéndolo de un espacio vectorial simple en un álgebra de Lie.
La conexión se puede pensar de esta manera: imaginemos que tenemos dos elementos de un grupo de Lie que están muy cerca de la identidad, lo que llamaremos [math] g [/ math] y [math] h [/ math]. Podemos considerar [math] g [/ math] como desplazado de la identidad por una pequeña cantidad en alguna “dirección”, que llamaremos [math] X [/ math]. Del mismo modo, considere [math] h [/ math] como el punto desplazado de la identidad por un generador infinitesimal [math] Y [/ math].
Luego considere el conmutador teórico grupal [1],
[matemáticas] [g, h] = ghg ^ {- 1} h ^ {- 1} [/ matemáticas]
Este es un nuevo elemento del grupo que también está muy cerca de la identidad. Podemos considerarlo como desplazado de la identidad por un generador infinitesimal [matemática] Z [/ matemática].
Los generadores infinitesimales [matemática] X, Y, Z [/ matemática] viven en el álgebra de Lie para el grupo, y podemos definir
[matemáticas] Z = [X, Y] [/ matemáticas]
Es decir, las relaciones de conmutación para el grupo de Lie determinan el soporte de Lie en el espacio tangente.
Pero resulta que esto es mucho más útil a la inversa. Los grupos de mentiras son difíciles de estudiar directamente. Tomemos, por ejemplo, el grupo de Lorentz, SO (3, 1). Este grupo se define de acuerdo con la ecuación que sus elementos, matrices 4 × 4, deben satisfacer:
[matemáticas] \ Lambda ^ T \ eta \ Lambda = \ eta [/ matemáticas]
donde [math] \ eta = \ operatorname {diag} (+ 1, -1, -1, -1) [/ math].
Esta ecuación es … no tan fácil de resolver directamente. Pero no es demasiado difícil demostrar que un generador infinitesimal para este grupo de matrices [math] \ Lambda [/ math] debe satisfacer
[matemáticas] \ omega ^ T \ eta + \ eta \ omega = 0 [/ matemáticas]
Esta ecuación es lineal y homogénea, y tales ecuaciones siempre son fáciles de resolver, y el espacio de solución es siempre un subespacio. Entonces podemos encontrar el espacio de todos los generadores infinitesimales, es decir, el álgebra de Lie, resolviendo esta ecuación. Finalmente, para cada [math] \ omega [/ math] en el álgebra de Lie, podemos generar un subgrupo de un parámetro del grupo de Lie original con el mapa exponencial:
[matemáticas] \ Lambda (t) = \ exp (t \ omega) [/ matemáticas]
Y esto nos dice cómo generar todos los elementos de la matriz Lie group [2]. Simplemente toma el álgebra de Lie asociada y luego toma la matriz exponencial de cada elemento.
[1] Esta es una convención para la definición del conmutador de elementos de grupo. El otro es [matemáticas] [g, h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh [/ matemáticas].
[2] Bueno, los relacionados con la identidad, de todos modos. Pero si hay otros componentes conectados, deben tener la misma estructura diferencial que el componente que contiene la identidad, en cualquier caso.
