¿Por qué estudiamos sistemas LTI si la mayoría de los sistemas en la vida no son lineales o invariables en el tiempo?

Se sorprendería de cuán ampliamente aplicables son los sistemas LTI en la vida real. Por ejemplo,

• Muchos sistemas mecánicos son LTI. (Hasta el punto donde hay algún tipo de falla estructural).
• Todos los circuitos eléctricos pasivos. (Resistencias, condensadores, inductores)
• La mayoría de los canales de comunicación por cable e inalámbricos. (Por ejemplo, AWGN / canales de desvanecimiento rápido).

Muchos sistemas que no son verdaderamente lineales a menudo se pueden modelar como lineales por partes. Por ejemplo, la curva de operación de un transistor no es lineal, pero la mayoría de los circuitos de transistores tienen en mente un punto de operación. Dentro de una pequeña región de señal alrededor del punto de operación, el modelo lineal es lo suficientemente preciso como para que sea útil.

En cuanto a la invariancia temporal, todos los sistemas sin memoria son invariables en el tiempo. Y la mayoría de los componentes mecánicos / eléctricos pasivos no tienen memoria.

Porque son simples de analizar. Las propiedades invariantes lineales y temporales se utilizan para expresar la señal como una suma ponderada de funciones de impulso desplazadas y conocer la salida del sistema para una entrada de impulso le permite derivar la salida del sistema para cualquier tipo de señal de entrada. Esto se llama convolución, el punto de partida de “señales y sistemas”. Y usando este y los conceptos de valores propios se derivan todas las transformaciones (Fourier, Z y Laplace). La linealidad y la invariancia temporal ayudan a desarrollar conceptos poderosos en el análisis de sistemas. Esta sería una de las principales razones por las que son súper populares.

La belleza de estos sistemas es “Son sistemas predecibles”, cualquier sistema toma entrada y da salida. Pero los sistemas lineales tienen propiedades mágicas. Si sabe cómo reacciona ante pocas entradas especiales, puede predecir la salida para cualquier cosa. Eso es genial, verdad. Lo cual no es cierto en el caso de sistemas no lineales.

Ej: 1. Considere la cámara, es el sistema LTI. if asigna puntos en el espacio euclídeo al espacio proyectivo. Si sabe, cómo transforma 3 vectores linealmente independientes en el espacio euclidiano en espacio proyectivo. Entonces puedes predecir la transformación de cualquier punto euclidiano.

2. Considere el sistema LTI del circuito RLC, si conoce la respuesta al impulso, puede saber cómo se comportará el sistema ante cualquier señal.

3. El cambio de coordenadas es un sistema LTI, como los sistemas de coordenadas cartesianas a polares. si sabe cómo se transforma la base [ijk], puede transformar cualquier punto de un espacio a otro.

4. Cambio de espacio, pasando del espacio-tiempo al espacio de frecuencia. La ecuación dice que, si conoce la transformada de Fourier de la entrada de impulso. Puede predecir la transformación de Fourier de cualquier cosa. Lo mismo para Laplace y Hilbert.

5. Cualquier procesamiento de imagen es un sistema LTI, considere la rotación. toma una imagen 2D de entrada y le da una imagen de salida 2D.

Conclusión: si puede llevar cualquier transformación a la forma de matriz Y = AX ;, entonces esos sistemas son sistema lineal. si conoce A, puede encontrar Y para cualquier X. La matriz [A] depende del sistema. contiene la información sobre solo unas pocas transformaciones elementales. (generalmente base de un espacio) ej: Rotación en el espacio euclidiano, contiene información sobre cómo rotan los elementos base [i, j, k]. Mediante esta información, se puede predecir cualquier rotación de vectores, ya que cualquier vector es una combinación lineal de elementos básicos [i, j, k].

Y = AX; A contiene la información de las transformaciones de base elemental. Entonces, puede calcular cualquier transformación.

Necesitamos sistemas predecibles para analizar y resolver problemas. Por lo tanto, siempre modelamos todo a sistemas lineales. Aunque la naturaleza es no lineal, tratamos de aproximar la naturaleza mediante modelos lineales. Nuestras matemáticas tienen herramientas mejores y más simples para el análisis de sistemas lineales.

Ej: unión PN semiconductora, aunque es un dispositivo no lineal, lo modelamos como lineal. Para que podamos analizar, predecir el comportamiento aproximado del sistema y construir una mejor tecnología.

En el espíritu de la respuesta de Sruthi Kotamraju, agregaré que sabemos todo sobre sistemas lineales. No hay nada que no podamos descubrir sobre ellos, son una caja blanca.

Por lo tanto, si elige entre un modelo que puede resolverse exactamente (que coincide parcialmente con la descripción de su sistema) y un modelo que, en general, probablemente no se pueda resolver de manera exacta (pero describe mejor su sistema), muy a menudo estar satisfecho con la primera opción.

Hay otra razón por la que amamos las LTI: la linealización. Tomemos, por ejemplo, su característica típica de transistor:

Si lo modela de forma no lineal, tendrá un modelo de transistor para cada punto de trabajo posible. ¿En serio necesitas eso? Probablemente tenga su único punto de operación y quiera saber qué sucede a su alrededor. Haz la tangente allí y aproxima tu característica con una línea, y listo, el sistema lineal se adapta perfectamente a tus necesidades.

Para agregar algunos puntos. Las aproximaciones lineales son sorprendentemente poderosas. Especialmente si incluye comentarios en su sistema, a menudo es capaz de controlar el sistema lo suficientemente bien, incluso si hay errores de modelado.

Además, los sistemas no lineales son extremadamente complejos. Si no comprende los sistemas lineales, no tiene la posibilidad de comprender los no lineales.