¿Por qué el trabajo es la cantidad escalar cuando tanto el desplazamiento como la fuerza son cantidades vectoriales?

La fórmula del trabajo es:

W = Fs

(donde ‘F’ es la fuerza y ​​’s’ es el desplazamiento).

El trabajo se define como un producto escalar de fuerza y ​​desplazamiento.

Hay dos tipos de cantidades físicas. Uno es la cantidad escalar (que solo tiene una magnitud sin dirección específica) y el otro es una cantidad vectorial (que tiene una magnitud con una dirección particular).

Ahora, piensa lógicamente,

¿Cuál sería la dirección de la fuerza?

Puedes decir: “¡En la dirección del desplazamiento!”, Pero ¿por qué no en la dirección de la fuerza ? Y si dices la dirección de ambos, bueno, ¡no siempre es lo mismo! Una fuerza puede trabajar en un cuerpo incluso desplazándose en ángulo a la dirección de la fuerza (θ!).

Tenga en cuenta también que el trabajo es parte de la energía en un sistema (trabajo y energía) y la energía es un escalar. Si no fuera así, no estaríamos hablando de la “conservación de la energía” como una observación experimental. La energía es un escalar. Entonces el trabajo también es escalar.

Primero, consideremos lo que significa el trabajo. El concepto de trabajo fue creado para cuantificar cuánta energía (cinética) se gasta cuando una fuerza (suministrada) mueve un objeto (con masa). En cierto sentido, la energía es la moneda de nuestro universo. Entonces, en términos simples, el trabajo mide cuánto “cuesta” realizar acciones cuando debemos suministrar una fuerza para mover un objeto. Claramente, puede ser útil saber cuánto costará algo antes de decidir llevar a cabo la tarea.

Ahora, desarrollemos una pequeña intuición sobre el trabajo. Si la fuerza es constante y duplicamos la distancia (en una dirección constante) que nos movemos a lo largo de esta fuerza, esperaríamos gastar el doble de energía. Del mismo modo, si duplicamos la fuerza de magnitud (mantenemos constante la dirección), pero mantenemos fija la cantidad y la dirección de la distancia, nuevamente esperamos gastar el doble de energía (ya que aparentemente solo realizamos la misma acción dos veces). Entonces, conjeturamos que el trabajo debe ser proporcional tanto a la fuerza como al cambio en la distancia. Posteriormente, podemos verificar experimentalmente, en este caso, que la fórmula [matemáticas] W = kFd [/ matemáticas] es correcta, [matemáticas] W [/ matemáticas] donde está el trabajo, [matemáticas] F [/ matemáticas] es la fuerza, [matemática] d [/ matemática] es el cambio en la distancia (desplazamiento) y [matemática] k [/ matemática] es una constante de proporcionalidad (por determinar) adimensional. En términos de análisis dimensional, sabemos que la energía tiene unidades de Julios, que son [matemáticas] \ mbox {kg} \ frac {\ mbox {m} ^ 2} {\ mbox {s} ^ 2} [/ matemáticas], mientras que la fuerza se mide en Newtons, que son [matemáticas] \ mbox {kg} \ frac {\ mbox {m}} {\ mbox {s} ^ 2} [/ matemáticas]. Vemos que dimensionalmente Joules = [matemáticas] \ mbox {N} \ cdot \ mbox {m} [/ matemáticas], por lo que para obtener una medición del cambio en la energía de una fuerza, tiene sentido multiplicar por un cambio en el desplazamiento. En este punto, hemos tratado todo como escalares.

A continuación, abordemos esta ‘constante’ de proporcionalidad [matemática] k [/ matemática]. Resulta que no es realmente una constante, ya que cambiará de acuerdo con los cambios relativos en la dirección de la fuerza con respecto al desplazamiento. Como sabemos, tanto la fuerza como el desplazamiento se modelan mejor como vectores, y cambiar estas cantidades de vectores cambiará el valor de [math] k. [/ Math] La pregunta es cómo. Vimos arriba cómo los cambios en las magnitudes de fuerza y ​​desplazamiento afectan el cálculo del trabajo. Con respecto a los cambios en la dirección, miramos hacia atrás al significado del trabajo y vemos que realmente queremos saber cómo nos movemos en esta dirección de la fuerza. Aquí es donde la dirección de estos vectores es importante. Nuestra intuición dice que dos vectores estarán ‘máximamente juntos’ cuando son paralelos y ‘no estarán juntos’ cuando sean perpendiculares (estarán mínimamente juntos cuando sean antiparalelos). Ya tenemos una buena herramienta matemática que mide la ‘longitud’ de dos vectores, a saber, el coseno del ángulo entre los dos vectores. Entonces, es una buena suposición que [math] k = \ cos \ theta [/ math]. De hecho, el experimento mostrará que [math] W = \ vert \ vec F \ vert \ vert \ vec d \ vert \ cos \ theta [/ math] es el modelo correcto. En esta nueva fórmula, ahora estoy haciendo referencia explícita al hecho de que solo estamos considerando las magnitudes de la fuerza y ​​los vectores de desplazamiento. Tenga en cuenta que simplemente utilizamos magnitudes en nuestra fórmula original, sin referencia a la naturaleza vectorial de [math] \ vec F [/ math] y [math] \ vec d [/ math]. Observe que el lado derecho es el producto de tres escalares y, por lo tanto, es un escalar.

Finalmente, en términos un poco más sofisticados, el producto punto es una función (técnicamente, es una forma bilineal) que toma dos vectores y devuelve un escalar que puede usarse para medir cuánto apunta un vector a lo largo de la dirección de otro. En particular, dados dos vectores [math] \ vec F [/ math] y [math] \ vec d [/ math], su producto de punto es [math] \ vec F \ cdot \ vec d = \ vert \ vec F \ vert \ vert \ vec d \ vert \ cos \ theta [/ math], donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre los dos vectores. Usando nuestra última fórmula para el trabajo, vemos de inmediato que [math] W = \ vec F \ cdot \ vec d [/ math]. Ahora, observe que si rotamos un sistema con dos vectores, el ángulo relativo entre los dos vectores (aquí estamos interesados ​​en el vector de fuerza [math] \ vec F [/ math] y el vector de desplazamiento [math] \ vec d [ / math]) no cambia, por lo que la cantidad de puntos de un vector a lo largo de otro no depende de ninguna rotación del sistema. En otras palabras, el producto escalar no cambia bajo rotaciones. Mientras que, está claro que cualquier vector (distinto de cero) cambia cuando se rota un sistema (la dirección rotará con la rotación del sistema). Como hemos identificado el trabajo con un producto punto de dos vectores, no puede ser un vector. Por supuesto, el mismo argumento se aplica si nos olvidamos del producto escalar y solo notamos que el coseno del ángulo entre los vectores no cambia bajo las rotaciones. El resultado final es que el trabajo solo puede ser escalar, aunque lo obtengamos utilizando la fuerza y ​​el desplazamiento como vectores.

Lo que puede molestarte es que todavía estamos considerando solo una fuerza constante [math] \ vec F [/ math] y un desplazamiento constante [math] \ vec d [/ math]. En el caso de que la fuerza dependa de la posición y / o el desplazamiento dependa de una ruta no lineal [matemática] \ vec {s} (t) [/ matemática], realmente necesitamos invocar el cálculo vectorial, así que resumiré brevemente lo que está involucrado aquí. Primero, debemos considerar cuánto trabajo infinitesimal [matemático] dW [/ matemático] se requiere a lo largo de cada parte infinitamente pequeña de la ruta [matemática] d \ vec s. [/ math] En este caso [math] dW = \ vec F (s) \ cdot d \ vec s [/ math] donde ahora escribimos el término de fuerza para que parezca que [math] \ vec F (s) [ / math] es una función de posición y estamos considerando que [math] s [/ math] es la posición a lo largo del camino [math] s (t) [/ math] en el que esta ‘vida’ infinitesimal, es decir, en algún momento específico tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas]. Ahora, entendiendo que [math] d \ vec s [/ math] surge de una parametrización particular [math] s (t) [/ math] de la curva, vemos que [math] ds = \ frac {d \ vec s } {dt} dt [/ math], donde el objeto [math] \ frac {d \ vec s} {dt} [/ math] es simplemente la velocidad de (la parametrización de) el camino en la pieza infinitesimal del camino que estamos considerando. Puede ser útil recordar que el vector de velocidad es tangencial a la curva y es la mejor aproximación lineal de la curva en ese punto en particular. Por lo tanto, el vector de velocidad sí apunta a lo largo de la dirección del desplazamiento en sentido infinitesimal. Ahora, para calcular el trabajo, simplemente sumamos todas estas piezas infinitesimales calculando la integral de línea [math] W = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ vec {F} \ cdot d \ vec {s} [/ math], con hora de inicio [matemática] t_0 [/ matemática], hora de finalización [matemática] t_1 [/ matemática]. Aunque no está escrito explícitamente, debemos recordar que [math] \ vec F [/ math] puede depender de la posición [math] \ vec {s} (t) [/ math] en cada punto a lo largo del camino. Esta expresión final es lo suficientemente general como para ser exceptuada como una definición matemática estándar de trabajo en muchas situaciones. Aprovecha al máximo la naturaleza vectorial de ambos desplazamientos de fuerza, pero aún devuelve un valor escalar, ya que estamos integrando una función de valor escalar, que de nuevo es un producto escalar.

El trabajo realizado en un objeto está dado por [math] W = \ vec {F} \ cdot \ vec {s} [/ math], y los productos de punto dan una cantidad escalar.

Cuando discutas la energía de un objeto, si lo piensas como un vector, ¿por dónde empezarías? Incluso si hay un punto de partida donde puede trabajar en él y acelerar hasta este punto, esto también se puede hacer utilizando otros métodos, como aplicar fuerzas en diferentes momentos para producir la misma velocidad o la misma altura o la misma distancia. Entonces, el origen no importa. El hecho de que la fuerza sea un vector nos permite ver en qué dirección se aplica, que diferirá si se aplica la misma magnitud de fuerza pero diferente dirección. Pero la energía es diferente, la energía se almacena dentro del sistema y no se puede saber dónde se escupe o absorbe energía con solo mirar el sistema. Otros pueden dar respuestas más profesionales, pero creo que esta es una forma intuitiva de ver esto.

TLDR: Porque el trabajo es el producto escalar, no el producto cruzado, de los dos vectores.

Hay tres formas de multiplicar un vector (al menos). Primero, puede multiplicar un vector por un escalar, lo que puede hacerlo más largo o más corto o voltearlo 180º, pero de lo contrario no puede cambiar la dirección. Un vector multiplicado por un número es un vector.

En segundo lugar, puede tomar el producto escalar de dos vectores, lo que puede suceder de dos maneras: multiplique sus componentes y agregue los resultados, o multiplique sus longitudes y luego multiplique por el coseno del ángulo entre ellos. Entonces en 2D,

A • B = AB cos (theta) o

A • B = Ax * Bx + Ay * By (+ Az * Bz si estás en 3D)

En cierto modo, el producto de puntos mide qué tan bien “cooperan” dos vectores. Si apuntan de la misma manera, simplemente multiplica las longitudes. (cos 0º = 1)

Si apuntan de manera opuesta, obtienes el negativo del producto (cos 180º = -1)

Si apuntan en ángulo recto, no cooperan ni luchan entre sí, y el producto escalar es cero (cos 90º = 0)

Entonces, un producto de punto positivo significa que apuntan al menos algo en la misma dirección, y un negativo significa que al menos están algo opuestos.

La tercera forma de multiplicar un vector es combinar dos vectores en un producto cruzado , lo que da un tercer vector en ángulo recto con los dos primeros. Probablemente solo lo necesite para rotación y par, y más tarde para magnetismo, si es así, muchas clases omiten el producto cruzado por completo.

Los vectores dependen de la dirección. Los escalares no lo hacen. Algunas cosas en física son vectores: desplazamiento, posición, velocidad, aceleración, fuerza, momento, etc. Algunas cosas en física son escalares: distancia, velocidad, magnitud de un vector, masa, tiempo, energía, trabajo. Los escalares son números individuales. Los vectores necesitan un número para cada eje.

supongamos que está levantando una caja a una cierta altura y luego está haciendo un trabajo igual a mgh.

La acción es escalar. El dA / dt lagrangiano en mecánica clásica también es un escalar porque es el cociente de dos escaleras mecánicas (acción que siempre es un escalar) y el tiempo que en la física newtoniana también es un escalar. La fuerza lagrangiana es la derivada del impulso

esa es la derivada de un escalar de un vector en coordenadas coovariantes. El resultado son las coordenadas contravariantes. La fuerza es el concepto matemático que tiene componentes similares que estas contravariantes coordinan con un único índice, se dice, un tensor de rango 1, un vector

La fuerza depende de la dirección. Hablamos de usar la fuerza en una dirección específica. En caso de energía, no tenemos ningún sentido de dirección. Solo cuando la energía fluye, se siente la Fuerza, por lo que este flujo puede tener dirección pero no energía.