¿Por qué la integral de esta función de disminución exponencial multiplicada por la función delta de Dirac cambia de valor cuando cambia la función delta de Dirac?

La función delta de Dirac, por ejemplo, [math] \ delta (ta) = 0 [/ math], para todos [math] t \ ne a [/ math] y [math] \ int_ {t = b} ^ {t = c} \ delta (ta) = 1 [/ math] if [math] b \ le a \ le c [/ math]. Hay una propiedad más de la función delta de Dirac que es relevante aquí. Es que [math] \ int_ {t = b} ^ {t = c} f (t) \ delta (ta) dt = f (a), si b \ le a \ le c, es decir, [/ math] si a se encuentra dentro del intervalo de integración.

1. En [matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {6} (2 + e ^ {- 5t}) \ delta (t-5) dt [/ matemáticas], [matemáticas] \ delta (t-5) [ / math] alcanza un máximo en [math] t = 5 [/ math] que se encuentra entre los límites [math] t = -1 [/ math] y [math] t = 6, es decir, [/ math] t = 5 se encuentra dentro de El intervalo de integración. Entonces, desde la última propiedad mencionada anteriormente, la respuesta es el valor de la función [matemática] (2 + e ^ {- 5t}) [/ matemática] en [matemática] t = 5 [/ matemática], que es [matemática ] 2 + e ^ {- 25} \ aprox 2 [/ matemáticas].

2. En [matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {6} (2 + e ^ {- 5t}) \ delta (t-9) dt [/ matemáticas], [matemáticas] \ delta (t-9) = 0 [/ math] en el intervalo [math] [- 1,6] [/ math], ya que solo alcanza su punto máximo en [math] t = 9 [/ math]. De ahí la respuesta.

3. En [matemáticas] \ int_ {-1} ^ {6} (2 + e ^ {- 5t}) \ delta (t) dt [/ matemáticas], [matemáticas] \ delta (t) = \ delta (t -0) [/ math], que alcanza su punto máximo en [math] t = 0 [/ math] y [math] t = 0 [/ math] se encuentra entre los límites [math] t = -1 [/ math] y [math ] t = 6 [/ matemáticas]. Entonces, nuevamente desde la última propiedad, tenemos la respuesta para que sea igual al valor de la función en [math] t = 0 [/ math], que es [math] 2 + e ^ {0} = 3 [/ math ]

Presta atención a los límites de la integral. La función delta tiene un valor integral de 1 si la función delta está dentro de los límites integrales; de lo contrario, su valor es 0. Puede dividir la integral en dos integrales distribuyendo la función delta a los otros dos términos. La primera integral, la función delta está en los límites y terminas con 2 +, el exponencial aumenta a -25, que es básicamente 0, por lo tanto, obtienes 2 + 0 = 0. Para la segunda integral, la función delta ocurre en el tiempo 9 cuando es fuera de la integral, por lo tanto, la integral completa es 0. Para la final se obtiene 2 + el exponencial elevado a la potencia de 0, que es 2 + 1 = 3.