Intentaré responder la pregunta a nivel general, así que no estoy seguro de si será satisfactoria. Si no, puedo proporcionar detalles técnicos, pero la pregunta es sobre “explicación intuitiva”, así que lo intentaré.
Supongo que está familiarizado con la formulación coordinada estándar de GR. En esta teoría, puede elegir su sistema de coordenadas de forma arbitraria y la forma de las ecuaciones de Einstein es independiente de esta elección. El sistema de coordenadas es simplemente una forma de etiquetar los puntos del espacio-tiempo por las cuatro tuplas de coordenadas [matemática] x ^ \ mu, \ mu = 0,1,2,3 [/ matemática].
Con cualquier coordenada [matemática] x ^ \ mu [/ matemática] puede asociar vectores
[matemáticas] \ parcial_ \ mu \ equiv \ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ \ mu} [/ matemática]
que forman la base del espacio tangente en cada punto. La base del espacio cotangente dual a [math] \ partial_ \ mu [/ math] se compone de covectors [math] dx ^ \ mu [/ math].
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El tensor métrico se puede escribir en estas coordenadas en la forma
[matemáticas] g = g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ \ mu \ otimes dx ^ \ nu [/ matemáticas]
donde [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] son los componentes del tensor métrico con respecto a estas coordenadas.
Para simplificar, considere el espacio euclidiano 2D ordinario en las coordenadas cartesianas en las que la métrica toma la forma
[matemáticas] g = dx \ otimes dx + dy \ otimes dy. [/matemáticas]
La matriz del tensor métrico es, en este caso,
[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}. [/matemáticas]
Esta matriz le dice que los vectores [math] \ partial_x [/ math] y [math] \ partial_y [/ math] son ortogonales, porque
[matemática] g (\ partial_x, \ partial_y) \ equiv g_ {xy} = 0; [/matemáticas]
Estos son los elementos fuera de la diagonal de la matriz. Además, puede ver que los vectores base están normalizados a 1:
[matemática] g (\ partial_x, \ partial_x) = g (\ partial_y, \ partial_y) = 1. [/ matemática]
Sin embargo, puede elegir, por ejemplo, las coordenadas polares en las que se lee el tensor métrico
[matemáticas] g = dr \ otimes dr + r ^ 2 \, d \ phi \ otimes d \ phi, [/ matemáticas]
para que la matriz del tensor métrico sea
[matemáticas] g ‘_ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r ^ 2 \ end {pmatrix}. [/matemáticas]
Los vectores de base [math] \ partial_r, \ partial_ \ phi [/ math] todavía son ortogonales, pero ya no están normalizados, porque tenemos
[matemáticas] g (\ partial_ \ phi, \ partial_ \ phi) = r ^ 2. [/matemáticas]
También puede definir un sistema de coordenadas arbitrario en el que los vectores de base no serán ortogonales, es decir, la matriz del tensor métrico no será diagonal.
Por álgebra lineal sabemos que la base del espacio vectorial no es única. En los ejemplos anteriores significa que tanto [math] (\ partial_x, \ partial_y) [/ math] como [math] (\ partial_r, \ partial_ \ phi) [/ math] forman la base en cada punto. Si toma cualquier base de coordenadas [matemática] \ parcial_ \ mu [/ matemática], puede formar otra base si “mezcla” los vectores de base con una matriz no singular. Por lo tanto, si [math] A [/ math] es una matriz no singular, entonces los nuevos vectores definidos por
[matemáticas] e_a = A_a ^ \ mu \ partial_ \ mu [/ matemáticas]
formará la base del mismo espacio tangente. (La matriz debe ser no singular, es decir, debe tener un determinante distinto de cero; de lo contrario, los vectores [math] e_a [/ math] serían linealmente dependientes y, por lo tanto, no formarán una base). Conjunto de cuatro vectores. Otra palabra común para tétrada es ” vierbein “, que tiene el mismo significado pero se deriva del alemán. En el caso del espacio-tiempo n-dimensional, tenemos n vectores básicos que forman el llamado ” vielbein “, que significa “muchos vectores” (en realidad, “muchas patas”).
Tenga en cuenta que es costumbre usar diferentes índices para la base de coordenadas y diferentes para la tétrada, en mi notación [math] \ mu, \ nu, \ alpha, \ beta, \ dots [/ math] siempre están relacionados con la base de coordenadas, mientras que los vectores de tétrada están marcados por [math] a, b, c, d \ dots [/ math]. Además, la matriz que denoté por A a menudo se denota por [math] e ^ \ mu_a [/ math]. Mientras que [math] \ partial_ \ mu [/ math] y [math] e_a [/ math] son vectores, el objeto [math] e_a ^ \ mu [/ math] es realmente solo la matriz de números. Entonces, generalmente escribimos
[matemáticas] e_a = e_a ^ \ mu \, \ partial_ \ mu. [/matemáticas]
Si [math] e_a [/ math] es la base del espacio tangente, podemos introducir vectores duales (codificadores) que forman la base del espacio dual (espacio cotangente). En forma coordinada, los vectores [math] \ partial_ \ mu [/ math] y los covectors [math] dx ^ \ mu [/ math] son duales en el sentido
[matemáticas] dx ^ \ mu (\ partial_ \ nu) = \ delta ^ \ mu_ \ nu. [/matemáticas]
En el mismo espíritu puedes definir la tétrada dual
[matemáticas] e ^ a = e ^ a_ \ mu \, dx ^ \ mu [/ matemáticas]
donde [math] e ^ a_ \ mu [/ math] es simplemente el inverso de la matriz [math] e_a ^ \ mu [/ math]. Entonces tenemos
[matemáticas] e ^ a (e_b) = \ delta ^ a_b [/ matemáticas]
para que [math] e ^ a [/ math] sea de hecho dual a [math] e_a [/ math].
Una vez definida la tétrada y su dual, podemos cambiar entre componentes de coordenadas y las componentes de tétrada de vectores a través de relaciones
[matemáticas] X ^ a = e ^ a_ \ mu \, X ^ \ mu, \ qquad \ alpha_a = e_a ^ \ mu \, \ alpha ^ \ mu [/ math]
y
[matemáticas] X ^ \ mu = e ^ \ mu_a \, X ^ a, \ qquad \ alpha_ \ mu = e_ \ mu ^ a \, \ alpha_a, [/ math]
y de manera similar para tensores de mayor rango. En particular, los componentes de la tétrada del tensor métrico son
[matemáticas] g_ {ab} = e_a ^ \ mu \, e_b ^ \ nu \, g _ {\ mu \ nu}. [/matemáticas]
Para concluir esta parte, puede proyectar sus vectores y tensores en la base de coordenadas o en la tétrada. Hay una correspondencia 1-1 entre ambas posibilidades, pero puede ser conveniente usar la tétrada en lugar de la base de coordenadas. Una opción particular es la tétrada ortonormal en la que
[matemáticas] g_ {ab} = \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y -1 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y -1 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y -1 \ end {pmatrix}. [/matemáticas]
(En muchos libros de texto en GR, se usa una firma opuesta, pero prefiero esta)
Hay otras opciones posibles, por ejemplo, en el formalismo de Newman-Penrose, uno elige la tétrada (tétrada nula de Newman-Penrose) de tal manera que
[matemáticas] g_ {ab} = \ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math].
Depende del problema que quieras resolver. El formalismo de Cartan proporciona una herramienta para reescribir todas las ecuaciones relevantes con respecto a cualquier tétrada que elija. En lo que sigue restringiré a la tétrada ortonormal para la concreción.
Ahora, en la formulación coordinada de la relatividad general, el objeto desconocido es el tensor métrico. Las ecuaciones de Einstein son
[matemáticas] R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} \, R \, g _ {\ mu \ nu} = T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
(hasta cierto factor en el lado derecho). Aquí, el tensor de Ricci [matemática] R _ {\ mu \ nu} [/ matemática] está formado por el tensor métrico y sus derivados (primero y segundo). Por lo tanto, las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales parciales para [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math].
Pero si elige la tétrada ortonormal, su tensor métrico no es una variable desconocida, se da: usted elige cuáles son los componentes del tensor métrico. Sus nuevas variables desconocidas son [math] e ^ a_ \ mu [/ math]. Por lo tanto, no tiene sentido calcular los símbolos de Christoffel por la relación habitual
[matemáticas] \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} g ^ {\ alpha \ beta} \ left (\ partial_ \ mu g _ {\ beta \ nu} + \ partial_ \ nu g _ {\ beta, \ mu} – \ partial_ \ beta g _ {\ mu \ nu} \ right). [/matemáticas]
Todas las derivadas son cero ahora, ya que elige su tensor métrico para tener la forma
[matemáticas] g_ {ab} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). [/matemáticas]
Las derivadas de los componentes de la tétrada de la métrica desaparecen por definición. ¡Pero eso no significa que su espacio-tiempo sea plano, por supuesto!
El formalismo de Cartan es una forma de codificar la información que necesita en variables apropiadas cuando emplea la tétrada no coordinada. El aparato de formas diferenciales, desarrollado también por Cartan, es una herramienta eficiente para hacer esto, pero hay más posibilidades.
Solo esbozaré algunas piezas del formalismo, pero esta respuesta ya es demasiado larga 🙂
En lugar de los símbolos de Christoffel, debe introducir la conexión de 1 forma. Los símbolos de Christoffel le indican cómo calcular las derivadas de los campos vectoriales (tensoriales). Más precisamente, si [math] \ partial_ \ mu [/ math] es el vector base, los símbolos de Christoffel se definen por
[matemáticas] \ nabla_ \ mu \ partial_ \ nu = \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} \, \ partial_ \ alpha. [/matemáticas]
En analogía con esto, la conexión 1-forma se define por
[matemáticas] \ nabla_a e_b = \ omega_ {ab} ^ c \, e_c. [/matemáticas]
En otras palabras: el símbolo [math] \ nabla_a e_b [/ math] representa la derivada (covariante) del vector [math] e_b [/ math] en la dirección del vector [math] e_a [/ math]. Pero sea cual sea el resultado, es un vector y, por lo tanto, puede expandirse a la base. Los coeficientes de estas expansiones son los componentes de la conexión 1-form [math] \ omega_ {ab} ^ c [/ math]. Estos coeficientes a veces se denominan “coeficientes de rotación Ricci”.
Entonces, los componentes de la métrica no son nuestras variables, ya que están dados por la elección de la tétrada, pero la forma de conexión 1 es una variable: nos dice cómo diferenciar los campos tensoriales y esto está relacionado con la geometría. En un tratamiento más abstracto (pero más preciso), la forma de conexión 1 es un objeto que tiene un argumento vectorial, pero el resultado radica en el álgebra de Lie del grupo GL (n), donde n es la dimensión y GL es un grupo lineal general . Esa es la razón por la cual [math] \ omega [/ math] tiene tres índices, aunque es de una forma. Pero para explicar esto, necesitaríamos el formalismo de los haces de fibra. Además de la conexión 1-form, en el formalismo de Cartan definimos la curvatura 2-form [math] \ Omega ^ a_b = R ^ a_ {bcd} \, e ^ c \ wedge e ^ d [/ math]
que es la forma tétrada del tensor de curvatura de Riemann.
Las ecuaciones diferenciales para variables desconocidas en el formalismo de Cartan se conocen como las ecuaciones de estructura de Maurer-Cartan. El primero de ellos es
[matemáticas] de + \ omega \ cuña e = 0 [/ matemáticas]
y es la ecuación para la tétrada. De hecho, en el lado derecho está la forma de torsión 1, pero esto se desvanece en la relatividad general por suposición. La segunda ecuación es
[matemáticas] d \ omega + \ omega \ wedge \ omega = \ Omega [/ math]
y esta es una ecuación para la conexión de 1 forma.
Permítanme concluir esta contribución horriblemente larga y caótica. Con cada sistema de coordenadas obtienes también los vectores base. Pero a veces es conveniente elegir una base diferente, por ejemplo, ortonormal, y proyectar todas las cantidades geométricas sobre su propia base. El formalismo de Cartan es una herramienta para escribir todas las ecuaciones con respecto a su propia base y no con respecto a la base de coordenadas. Terminaré ahora, pero a pedido puedo ampliar o explicar con más detalle cualquier punto.
