No trataré de recomendar matemáticas para la Relatividad General porque no he estudiado el tema yo mismo, pero golpeaste el clavo con respecto a la dilatación del tiempo como resultado de la fijación de la longitud de un vector cuatro. Ese vector es el vector 4 de velocidad:
[matemáticas] v ^ {\ mu} = (v_t, v_x, v_y, v_z). [/matemáticas]
Aquí [math] v_t [/ math] representa la “velocidad con la que nos movemos a través del tiempo”. Por lo general, elegimos un sistema de unidades en el que medimos el tiempo en unidades de distancia para poder compararlo significativamente con las otras dimensiones (espaciales). Hacemos esto reescalando el eje t por la velocidad de la luz, y midiendo [math] ct [/ math] donde sea que normalmente midamos [math] t [/ math] donde [math] c [/ math] es la velocidad de luz.
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Entonces, si todo es normal, te mueves en el tiempo como [math] ct [/ math]. Con esto quiero decir que después de T segundos, medirás el tiempo en tu reloj para que sea T (nuestra medición nos daría cT). ¡Pero debemos tener cuidado! ¿”después de T segundos” según quién? Esto está relacionado con el hecho de que la dilatación del tiempo solo ocurre cuando se comparan dos marcos de referencia diferentes . No tiene sentido decir que un observador se mueve lentamente a través del tiempo a menos que se refiera a otro marco de referencia con el que se esté comparando.
De hecho, en su propio marco de referencia, el tiempo siempre parece funcionar normalmente. Eres el único tiempo de medición después de todo. Además, en relación con usted mismo, no se está moviendo a ningún lado, por lo que su velocidad espacial es cero. Entonces, en ese caso, su velocidad de 4 sería
[matemáticas] v ^ {\ mu} = (c, 0, 0, 0) [/ matemáticas]
ya que
[matemáticas] v_t = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} ct = c [/ math].
Tenga en cuenta que la longitud de esta 4 velocidades es
[matemáticas] v _ {\ mu} v ^ {\ mu} = -v_t * v_t + v_x * v_x + v_y * v_y + v_z * v_z [/ math]
[matemáticas] = -c ^ 2. [/matemáticas]
Cuando se compara entre dos cuadros inerciales que se mueven uno con respecto al otro, la dilatación del tiempo nos dice que la tasa que un observador ve que el tiempo marca para el otro observador en comparación con su propio reloj está disminuida por un factor de gamma.
Podemos obtener este resultado del experimento gedenke de Einstein con el reloj de luz. Pero también podemos obtenerlo simplemente exigiendo que la longitud del vector de velocidad 4 permanezca constante en [math] -c ^ 2 [/ math].
Supongamos que el tiempo medido por un observador en el reloj del otro observador es constante [matemática] \ alfa [/ matemática] multiplicada por el tiempo de su propio reloj de pulsera [matemática] ct [/ matemática]. Entonces la 4 velocidades del otro tipo, como la medición en el marco del primer tipo, es
[matemáticas] v ^ {\ mu} = (\ alpha c, \ alpha v_x, \ alpha v_y, \ alpha v_z) [/ math]
Puede que se pregunte con razón por qué pegué un factor de [math] \ alpha [/ math] frente a los componentes espaciales de la velocidad. La razón es que se supone que esas velocidades se miden con respecto a la velocidad del reloj del tipo en movimiento, no a la velocidad del observador estacionario.
Ahora podemos encontrar manualmente la longitud al cuadrado de este vector y establecerlo igual a [math] -c ^ 2 [/ math].
[matemáticas] v _ {\ mu} v ^ {\ mu} = – \ alpha ^ 2 c ^ 2 + \ alpha ^ 2 v ^ 2 = -c ^ 2 [/ matemáticas]
donde [matemáticas] v ^ 2 [/ matemáticas] es la longitud del vector de velocidad espacial]
[matemáticas] v ^ 2 = v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2. [/matemáticas]
Haciendo algo de álgebra en lo anterior terminamos con
[matemáticas] \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {1-v ^ 2 / c ^ 2} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ alpha = \ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2}} [/ matemáticas]
que es solo el factor que Einstein encontró en su experimento gendenke, más típicamente denotado [math] \ gamma [/ math].
