Usar un lagrangiano o un hamiltoniano es equivalente a usar las leyes de newton. Pero a los físicos les gustan por un par de razones que se me ocurren. La primera es que las leyes de Newton generalmente funcionan mejor con coordenadas cartesianas. Los lagrangianos y los hamiltonianos trabajan con una amplia gama de coordenadas (a menudo llamadas coordenadas generalizadas). Por ejemplo, suponga que está trabajando con un sistema complejo de poleas. Intentar superarlas con las leyes de newton es una pesadilla, ya que debes hacer algunos gynmastics matemáticos para tener en cuenta todas las restricciones en tu sistema. Pero al usar los grados de libertad del sistema como coordenadas generalizadas (en su lagrangiano), el problema es mucho más simple. En resumen, cuando usa las leyes de newton, está limitado a las coordenadas cartesianas y tiene que encontrar una manera de agregar restricciones a su sistema. Con la mecánica lagrangiana, usted es libre de elegir coordenadas y si elige sabiamente, puede dar cuenta de las restricciones con un mínimo esfuerzo.
La segunda razón es la elegancia. Suponga que arrojó una pelota y trazó su trayectoria. El resultado es una ecuación parabólica. Ahora mira las bolas lagrangianas con el tiempo. Si toma la integral de esta (área debajo del gráfico de tiempo lagrangiano), esto se llama Acción. Puedes ver fácilmente que el camino elegido por la pelota es el camino que minimiza la acción. Entonces, si la pelota tomara un camino diferente, la acción (área debajo del gráfico de tiempo lagrangiano) sería mayor. Esto se llama Principio de acción estacionaria, uno de los resultados más bellos y útiles en física.
Otra razón relacionada con lo anterior, acabo de recordar, son las leyes de conservación. Es muy fácil determinar las leyes de conservación con un lagrangiano o un hamiltoniano. Si el lagrangiano no depende de la coordenada, se conserva el impulso generalizado de esa coordenada. Por ejemplo, si el campo gravitacional de una estrella es esféricamente simétrico, el lagrangiano de un planeta (que orbita la estrella) no depende del ángulo azimutal del planeta (en relación con la estrella). Así, el momento angular (que es el momento generalizado) se conserva.
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