La pregunta llega a las sutiles diferencias entre [matemáticas] [f (z)] ^ * [/ matemáticas], [matemáticas] f ^ * (z) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (z ^ *) [/ matemáticas ] El del medio es el más difícil de entender; básicamente [matemáticas] f ^ * (z) [/ matemáticas] es lo que obtienes cuando cambias todas las [matemáticas] i [/ matemáticas] s a [matemáticas] -i [/ matemáticas] s en [matemáticas] f [/ math], dejando solo la variable [math] z [/ math].
Creo que tengo razón en que el conjugado complejo de una función aplicada a una variable es el conjugado complejo de la función aplicada al conjugado complejo de la variable. En símbolos, [matemáticas] [f (z)] ^ * = f ^ * (z ^ *) [/ matemáticas]. Vamos a ver una pareja.
[matemáticas] f (z) = iz-i + 1; [/ matemáticas]
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[matemáticas] [f (z)] ^ * = (iz-i + 1) ^ * = i ^ * z ^ * – i ^ * + 1 ^ * = – iz ^ * + i + 1 = f ^ * ( z ^ *) \ \ \ \ marca de verificación [/ math]
[matemáticas] f (z) = i | z |; [/ matemáticas]
[matemáticas] [f (z)] ^ * = i ^ * | z | ^ * = – i | z | = -i | z ^ * | = f ^ * (z ^ *) \ \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]
Verifiqué dos ejemplos: supongamos que es cierto. En la ecuación de la pregunta, los lados izquierdo y derecho son conjugados. Para ver esto, tomemos el conjugado del lado izquierdo
[matemáticas] [f ^ * (z)] ^ * = f ^ {**} (z ^ *) = f (z ^ *) [/ matemáticas]
Entonces, la única forma en que [math] f ^ * (z) = f (z ^ *) [/ math] será verdadera es si [math] f (z) [/ math] es real para todos los complejos [math] z [ / math], porque solo un número real es su propio conjugado complejo. Ahí está tu regla.
