Supongo que usted investiga las propiedades de la intersección en [math] \ mathbb {Q} [/ math] con topología heredada de la topología habitual de números reales, ya que no es cierto en [math] \ mathbb {R}. [ / math] Denota la intersección [math] X [/ math].
1) [math] X [/ math] está cerrado: para demostrar que un conjunto está cerrado, debe demostrar que no puede converger fuera de él. Suponga que tiene una secuencia [math] a_n [/ math] en [math] X [/ math] que converge a un número racional (ya que estamos trabajando en el conjunto [math] \ mathbb {Q} [/ math], por lo tanto, solo nos preocupa la convergencia en los racionales). Como todos [math] a_n [/ math] satisfacen [math] \ sqrt {2} <[/ math] [math] a_n <\ pi [/ math], también es cierto que [math] \ sqrt {2} \ leq \ lim a_n \ leq \ pi [/ math] (esto es intuitivamente cierto y puede probarse fácilmente a partir de la definición de límite). Denote el límite [math] a [/ math]. Como suponemos que [math] a_n [/ math] converge en un nuber racional, es cierto que [math] \ sqrt {2} \ neq a \ neq \ pi [/ math], por lo tanto, [math] \ sqrt {2 } <a <\ pi [/ math], por lo tanto, [math] a \ in X [/ math], como se demostraría. Por lo tanto, [math] X [/ math] está cerrado.
2) Para mostrar que [math] X [/ math] está abierto, necesitamos mostrar que cada punto tiene un vecindario que se encuentra en [math] X [/ math]. para cualquier punto [matemáticas] x \ en X [/ matemáticas], podemos tomar [matemáticas] a = \ frac {x- \ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] b = \ frac { \ pi-x} {2} [/ matemáticas]. Entonces [math] (a, b) \ cap \ mathbb {Q} [/ math] es un vecindario abierto de [math] x [/ math] en [math] X [/ math]. Por lo tanto, [math] X [/ math] está abierto.
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Tenga en cuenta que probablemente hay formas más diferentes de cómo probar esto. Por ejemplo, podría tomar el suplemento y demostrar que está cerrado y abierto (de la misma manera que lo hice).
