Hay muchas maneras de interpretar esta pregunta, pero creo que la más natural es esta: ¿Cuáles son los subgrupos abelianos (es decir, conmutativos) de [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math]?
Recuerde que [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math] es la colección de matrices complejas [math] n \ times n [/ math] con determinante distinto de cero. Esta colección es un grupo , es decir, tiene una multiplicación que es asociativa, tiene una identidad (es decir, la matriz de identidad) y tiene inversas.
Obviamente, el grupo completo [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math] no es abeliano, pero tiene varios subgrupos que son abelianos. Por ejemplo, la colección de matrices de la forma
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {pmatrix} \ lambda_1 & & \\ & \ ddots & \\ & & \ lambda_n \ end {pmatrix} [/ math]
es un subgrupo abeliano (esta es la colección de matrices diagonales). Del mismo modo, podríamos considerar la colección de matrices de la forma
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {pmatrix} 1 & \ lambda & & \\ 0 & 1 & & \\ & & \ ddots & \\ & & & 1 \ end {pmatrix} [/ math],
o podemos arreglar cualquier matriz [matemática] M [/ matemática] en [matemática] GL (n, \ mathbb {C}) [/ matemática] y considerar la colección
[matemáticas] \ displaystyle M ^ n [/ matemáticas]
donde [math] n [/ math] es un número entero; estos también son subgrupos abelianos.
Dado cualquier subgrupo abeliano [math] \ Gamma [/ math], es fácil crear uno nuevo eligiendo una matriz [math] N [/ math] en [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ matemáticas] y considerando
[matemáticas] \ displaystyle N \ Gamma N ^ {- 1} [/ matemáticas].
(Es decir, conjugamos cada matriz en [math] \ Gamma [/ math] por [math] N [/ math]). Por lo tanto, en un sentido muy burdo, obviamente hay infinitos subgrupos abelianos de [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math]. Pero esto se siente como hacer trampa: este es realmente el mismo grupo; acabamos de cambiar la base, pero no hicimos nada sustantivo.
Por lo tanto, tiene más sentido preguntar cuántos subgrupos abelianos hay de [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math] hasta la conjugación. Sin embargo, todavía vemos que debe haber infinitos, ya que podemos tomar un grupo como
[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ begin {pmatrix} \ lambda_1 & & \\ & \ ddots & \\ & & \ lambda_n \ end {pmatrix} \ right \} [/ math]
y considere todos sus subgrupos. Habrá infinitos subgrupos de este tipo, como el subgrupo de todo lo que parece
\ begin {pmatrix} p_1 + q_1 \ sqrt {2} & & \\ & \ ddots & \\ & & p_n + q_n \ sqrt {2} \ end {pmatrix},
donde [math] p_i, q_i [/ math] son números racionales. Sin embargo, esto también se siente como hacer trampa: escribir este grupo y el grupo completo de matrices diagonales parece una doble cuenta.
Por otro lado, el subgrupo de matrices diagonales tiene una buena propiedad. Suponga que [math] M [/ math] es una matriz que conmuta con cada matriz diagonal; entonces [math] M [/ math] debe ser una matriz diagonal (puede probar esto directamente multiplicando los coeficientes). Por lo tanto, no hay un subgrupo abeliano más grande que contenga las matrices diagonales; decimos que las matrices diagonales forman un subgrupo abeliano máximo.
Cualquier subgrupo abeliano siempre está contenido en un subgrupo abeliano máximo. Por lo tanto, no perdemos nada al reformular nuestra pregunta de la siguiente manera: ¿cuáles son los subgrupos abelianos máximos de [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math] hasta la conjugación?
Para ser completamente honesto, no estoy seguro de cuál es la respuesta a esta pregunta. Si pudiéramos demostrar de alguna manera que todos los subgrupos abelianos máximos de [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math] tenían que ser grupos de Lie o grupos algebraicos, entonces creo que podríamos resolver este problema. Sin embargo, no está claro que no pueda haber algunas soluciones salvajes que efectivamente equivalgan a una extraña dispersión de puntos.
Dicho esto, no es particularmente difícil encontrar ejemplos de subgrupos abelianos máximos que no estén conjugados con las matrices diagonales. Aquí hay un par de ejemplos:
[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ begin {pmatrix} \ lambda & a \\ 0 & \ lambda \ end {pmatrix} \ right \} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ begin {pmatrix} \ lambda & a & 0 \\ 0 & \ lambda & 0 \\ 0 & b & \ lambda \ end {pmatrix} \ right \} [/ math].
EDITAR:
Muchas gracias al Usuario de Quora, quien señaló en los comentarios que cualquier subgrupo abeliano máximo de [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math] en realidad tiene que ser un grupo de Lie. La razón de esto es que el cierre de un grupo abeliano también es abeliano (siempre que la topología sea Hausdorff, que está aquí), y cualquier subgrupo cerrado de un grupo Lie es un subgrupo Lie.
Además, si [math] M [/ math] es una matriz en este subgrupo y [math] I [/ math] es la matriz de identidad, entonces la matriz
[matemáticas] \ displaystyle \ alpha I + \ beta M [/ matemáticas]
donde [math] \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C} [/ math] también conmutará con todo en este subgrupo. Mientras el determinante sea distinto de cero, esta nueva matriz debe estar en el subgrupo (ya que es máxima).
Sin embargo, esto significa que siempre podemos encontrar un camino
[matemáticas] \ displaystyle p (t) = \ alpha (t) I + \ beta (t) M [/ matemáticas]
a través del subgrupo de modo que
[matemáticas] \ displaystyle p (0) = I, \ p (1) = M [/ matemáticas],
demostrando que este subgrupo debe estar conectado a la ruta. Estas son buenas noticias, ya que ahora podemos reducir todo el problema a solo estudiar álgebras de Lie. Sea [math] H [/ math] el subgrupo abeliano máximo (que ahora sabemos que es un subgrupo de Lie conectado), y [math] \ mathfrak {h} [/ math] es su álgebra de Lie. También tenemos un mapa
[math] \ displaystyle exp: \ mathfrak {h} \ rightarrow H [/ math]
[math] \ displaystyle h \ mapsto e ^ h [/ math].
Lo bueno de esto es que el álgebra de Lie es abeliano si y solo si lo es el grupo de Lie. Por lo tanto, [math] \ mathfrak {h} [/ math] es en realidad un grupo abeliano. [math] exp [/ math] es sobreyectivo, ya que [math] H [/ math] está conectado. Por lo tanto, según el primer teorema del isomorfismo, tenemos
[math] \ displaystyle H \ cong \ mathfrak {h} / \ ker (exp) [/ math].
[math] exp [/ math] no es en general inyectivo, pero dado que es un homeomorfismo local, el núcleo de [math] exp [/ math] será un subgrupo discreto de [math] \ mathfrak {h} [/ math ] Pero un subgrupo discreto de [math] \ mathfrak {h} [/ math] no es más que un grupo abeliano finitamente generado. Dado que [math] \ mathfrak {h} \ subset \ mathbb {C} ^ {n ^ 2} [/ math], este grupo abeliano no tiene torsión, lo que significa que en realidad
[matemática] \ displaystyle \ ker (exp) = \ mathbb {Z} x_1 \ oplus \ mathbb {Z} x_2 \ oplus \ ldots \ oplus \ mathbb {Z} x_r [/ math]
para algunos [math] x_1, \ ldots x_r [/ math] en [math] \ mathfrak {h} [/ math]. Resulta que
[matemáticas] \ displaystyle H \ cong \ mathfrak {h} / \ ker (exp) \ cong \ left (\ mathbb {C} ^ \ times \ right) ^ r \ oplus \ mathbb {C} ^ s [/ math] ,
para algunos enteros no negativos [math] r, s [/ math].
Cualquiera de los dos subgrupos abelianos máximos con los mismos [math] r, s [/ math] serán isomorfos como los grupos de Lie (no es difícil ver que los mapas que hemos definido son de hecho continuos). Es decir, serán lo mismo hasta un cambio de base. Dado que se logra un cambio de base conjugando en [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math], esto significa que la clase de conjugación de un subgrupo abeliano máximo está totalmente determinada por [math] r, s [ /matemáticas].
Queda por demostrar qué pares [matemática] r, s [/ matemática] producen un subgrupo abeliano máximo. Primero, notamos que si [math] r + s = n [/ math], entonces hay un subgrupo abeliano máximo con el [math] r, s [/ math] dado. Esto se logra mediante el subgrupo de todo el formulario.
[matemáticas] \ left \ {\ begin {pmatrix} \ lambda _1 & & & & & & \\ & \ ddots & & & & \\ & & \ lambda _r & & & & \\ & & & x_s & & & x_1 \\ & & & & x_s & & x_2 \\ & & & & & \ ddots & \ vdots \\ & & & & & & x_s \\ \ end {pmatrix} \ right \} [/ math].
Sin embargo, si [matemática] r + s
La moraleja de la historia: es muy, muy difícil ser un subgrupo conmutativo de [math] GL (n, \ mathbb {C}) [/ math].
