¿Cuál es la diferencia entre un lagrangiano y un hamiltoniano?

1. Hamiltoniano es simplemente energía total. es decir, la suma de las energías potencial y cinética. Mientras que Lagrangian es la diferencia de las energías cinética y potencial.

2. El lagrangiano generalmente se escribe en forma de posición y velocidad, mientras que el hamiltoniano generalmente se escribe en forma de momento y posición. Ambos se usan para encontrar ecuaciones de movimiento.

3. La ecuación de Euler para el camino más corto recorrido generalmente se escribe usando lagrangiana. Es a través de Lagrangian que se encuentran otras relaciones para Hamiltonian.

4. En los paréntesis de Poission, generalmente se usa Hamiltonian.

5. Incluso en la mecánica cuántica, denotamos la ecuación de onda de Schrodinger en forma de energía hamiltoniana o total.

Hay varias diferencias, pero siempre se puede demostrar que son solo transformaciones de Legendre entre sí.

Echemos un vistazo a algunas de las diferencias.

1) En el formalismo lagrangiano, la ecuación de movimiento de Lagrange describe el movimiento de una partícula en términos de una sola ecuación diferencial de segundo orden. En el formalismo hamiltoniano, las ecuaciones de Hamilton describen el movimiento de una partícula en términos de un sistema acoplado de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.

2Hamilton es solo una Energía total del sistema y es ÚNICO. ¡Mientras que Lagrangian no necesita ser único!

Puede haber varios otros Lagrangianos que corresponden a la misma ecuación de movimiento y esto le permite tener una ‘libertad de calibre’. Esta propiedad de Lagrangian se usa ampliamente en la formulación integral de la mecánica cuántica.

3) El formalismo lagrangiano está en el espacio de configuración, mientras que el formalismo de Hamilton está en el espacio de fase.

En cierto modo, no hay una diferencia fundamental entre la mecánica newtoniana, la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana. Todos le proporcionarán soluciones equivalentes para la evolución temporal de un sistema. El lagrangiano y el hiltoniano son transformaciones de Legendre entre sí. Esencialmente, el Lagrangian le permite trabajar en el espacio de configuración y el Hamiltoniano le permite trabajar en un espacio de fase. El que utilizas para un problema dado realmente se reduce a cuál es más conveniente o más fácil de resolver. Para un sistema con espacio de configuración de dimensión n, las ecuaciones de Hamilton son un conjunto de 2n, ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas, mientras que las ecuaciones de Euler-Lagrange son un conjunto de n ecuaciones diferenciales de segundo orden no acopladas.

En la mecánica cuántica no relativista, el operador hamiltoniano resulta ser lo que avanza el estado del sistema hacia adelante en el tiempo. Por eso tienes la ecuación

[matemáticas] \ hat H | \ Psi \ rangle = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} | \ Psi \ rangle [/ math]

Una forma un poco más técnica de decirlo es “el operador hamiltoniano es el generador de la traducción del tiempo”.

Por otro lado, cuando pasas a la teoría de campo cuántico, un objetivo principal es garantizar que todo sea consistente con la relatividad; en otras palabras, te gustaría que la teoría sea explícitamente invariante de Lorentz. Como habrás notado, el hamiltoniano (y de hecho el concepto completo de la ecuación de Schrödinger) * no * es explícitamente invariante de Lorentz, simplemente porque separa el tiempo de espera de las coordenadas espaciales como algo especial. Además, como recordará de Lagrangian Mechanics, se llega al Hamiltonian en primer lugar al realizar una Transformación Legendre en el Lagrangian:

[matemáticas] H = p \ frac {dx} {dt} – L [/ matemáticas]

Lo que nuevamente separa específicamente el tiempo de espera como algo especial. En QFT, no quieres eso. Esto nos lleva de vuelta al concepto de densidad lagrangiana, que fácilmente * puede * hacerse explícitamente invariante de Lorentz. Por ejemplo, la QFT más simple posible es la teoría escalar de campo libre y tiene la siguiente densidad lagrangiana:

[matemática] \ matemática {L} = \ frac {1} {2} (\ partial_ \ mu \ phi) (\ partial ^ \ mu \ phi) – \ frac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2 [/matemáticas]

Debido a que los índices coinciden correctamente, esta cantidad claramente no cambia durante una transformación de Lorentz, por lo que toda la física derivada de ese punto también lo es. Esa es la razón principal por la que la densidad lagrangiana debe usarse en lugar de la densidad hamiltoniana en QFT.

Cabe señalar que * es * posible utilizar una densidad hamiltoniana en QFT relativista, pero es mucho más complicado debido a la separación explícita del espacio y el tiempo del hamiltoniano, por lo que generalmente se descarta a favor de la densidad lagrangiana.

EDITAR: Mi respuesta se fusionó con una pregunta diferente: la explicación de la pregunta original que respondí mencionó específicamente el uso del operador hamiltoniano en la mecánica cuántica no relativista versus el uso de la densidad lagrangiana en la física de partículas / teoría del campo cuántico.

Bueno, el lagrangiano es la televisión, donde T es cinética y V es energía potencial. Mientras que el hamiltoniano es T + V. Por lo tanto, son cantidades físicas similares pero diferentes.

Ejemplo: una masa en un resorte horizontal tiene una energía cinética de [matemáticas] \ frac {1} {2} m {\ dot {x}} ^ 2 [/ matemáticas] y una energía potencial de [matemáticas] \ frac {1 } {2} kx ^ 2 [/ matemáticas]

Más importante aún, se usan de maneras muy diferentes.

El lagrangiano se usa en la siguiente ecuación: [matemáticas] \ frac {\ partial L} {\ partial x} – \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {x}} = 0 [/ matemáticas]. En esta ecuación, se supone que la [matemática] L [/ matemática] lagrangiana se escribe en función de la posición [matemática] x [/ matemática] y la velocidad [matemática] \ dot {x} [/ matemática].

Volviendo al ejemplo, inserte [math] L = \ frac {1} {2} m {\ dot {x}} ^ 2- \ frac {1} {2} kx ^ 2 [/ math] lleva a lo siguiente ODE de segundo orden: [matemáticas] -kx-m \ ddot {x} = 0 [/ matemáticas]

El hamiltoniano se usa en las siguientes dos ecuaciones:
[matemáticas] \ frac {\ partial H} {\ partial x} = – \ dot {p} [/ math]
[matemáticas] \ frac {\ partial H} {\ partial p} = \ dot {x} [/ math]
Aquí se supone que el hamiltoniano [matemática] H [/ matemática] se escribe en función de la posición [matemática] x [/ matemática] y el momento [matemática] p [/ matemática].

Volviendo al ejemplo, dado que [matemática] p = m \ dot {x} [/ matemática] el hamiltoniano se convierte en [matemática] H = \ frac {p ^ 2} {2m} + \ frac {1} {2} kx ^ 2 [/ math], y las ecuaciones anteriores se convierten en:
[matemáticas] kx = – \ dot {p} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {p} {m} = \ dot {x} [/ matemáticas]

Observe cómo el hamiltoniano da dos EDO de primer orden, mientras que el lagrangiano da un único EDO de segundo orden.

Por construcción, el Hamiltoniano en sí mismo es siempre una cantidad conservada.

Es posible convertir del lagrangiano al hamiltoniano mediante la siguiente ecuación:

[matemáticas] H = \ dot {x} \ frac {\ parcial L} {\ dot x} -L [/ matemáticas]

La dinámica hamiltoniana es una formulación alternativa de la dinámica lagrangiana. La dinámica hamiltoniana utiliza los momentos generalizados en lugar de las velocidades generalizadas, utilizadas en la dinámica lagrangiana. En la formulación lagrangiana, las ecuaciones de movimiento tienen la forma de un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Y en la formulación hamiltoniana, se usan dos conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer orden en lugar de un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ambas formulaciones, hamiltoniana y lagrangiana, son equivalentes, pero la formulación hamiltoniana es más fundamental para los fundamentos de la mecánica cuántica.

Supongo que no has estudiado mecánica analítica o mecánica en un cuarto año o nivel de posgrado. Ahí es donde recogerás los elementos relevantes del Cálculo de variaciones para entender esto.

El lagrangiano y el hamiltoniano proporcionan descripciones alternativas, pero equivalentes, de un sistema físico. Se relacionaron mediante una transformación matemática llamada “Transformada de Legendre”. Básicamente, cualquier problema que pueda formularse usando un lagrangiano puede transformarse en un problema equivalente usando el hamiltoniano, y viceversa. La elección entre usar uno u otro se reduce a cuál da un problema que es más fácil de tratar con las matemáticas.

En el estudio de las matemáticas de la optimización, los dos problemas se llamarían “duales” entre sí. De hecho, todo el tema de los lagrangianos y los hamiltonianos se aclara cuando se tienen claramente en cuenta las matemáticas de la optimización. Sin embargo, como se presenta a menudo la física, el aspecto de optimización del problema físico puede ir y venir con una especie de velocidad de “si parpadea, lo perderá”.

Espero que el interlocutor pida una respuesta general; para una respuesta detallada, nada más que sentarse y comprender las matemáticas realmente será suficiente.

En términos generales, el lagrangiano es una forma de reducir la dinámica de un sistema para incluir solo los grados de libertad independientes. Tome el caso de una cuenta en un cable rígido:

En la mecánica clásica, el cordón es libre de moverse en 3 dimensiones, y varias fuerzas debido a la gravedad, su velocidad inicial, la fricción y las fuerzas de contacto con el cable se integran con el tiempo para determinar el camino que toma el cordón.

En la mecánica lagrangiana, (que da los mismos resultados que el enfoque clásico), la posición de la cuenta se expresa primero en función de cuánto se ha deslizado a lo largo del cable. El problema matemático se reduce a una dimensión (longitud a lo largo del cable), a pesar de que el cable todavía puede tomar un camino arbitrario a través del espacio tridimensional. Finalmente, las fuerzas / energía y el momento se calculan para ser las requeridas para satisfacer esta ecuación.

La Mecánica Hamiltoniana es básicamente una generalización de la mecánica lagrangiana para permitir casos en los que el movimiento del cordón también puede influir en la forma del cable (por ejemplo, un cable flexible y un cordón pesado) No hace falta decir resultados y vibraciones bastante complicadas en el puede producirse un cable, pero en el caso de un cable rígido, todavía se reduce a la solución clásica.

La Mecánica Cuántica requiere una mecánica hamiltoniana, básicamente porque la naturaleza actúa de tal manera que todo influye en todo lo demás en una respuesta de acción bastante compleja.

Sin empantanarse en detalles, esta es realmente la esencia, si no la letra de la ley; como dije, olvida el inglés y aprende un nuevo idioma (matemáticas) si quieres una respuesta más completa.